Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P1

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 11 Mar, 2020 12:20 am

Consideramos las dos parábolas $y=x^2$ e $y=x^2-1$. Sea $U$ el conjunto de los puntos comprendidos entre las dos parábolas (incluyendo los puntos de las parábolas). Determinar si $U$ contiene un segmento de longitud mayor a $10^6$.
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 19 Mar, 2020 4:08 pm

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Por el concepto de derivadas tenemos que la recta tangente a la parábola $y=x^2$ en el punto $(a;a^2)$ tiene pendiente $2a$ por lo que pasa por los puntos $(a-1;a^2-2a)=(a-1;(a-1)^2-1)$ y $(a+1;a+2a)=(a+1;(a+1)^2-1)$ los cuales pertenecen a la parábola $y=x^2-1$ así que el segmento que une a esos dos puntos pertenece a $U$ y por Pitagoras la longitud de ese segmento es $\sqrt{16a^2+4}$ por lo que tomando $a=10^6$ estamos ya que $16a^2+4>a^2\Rightarrow \sqrt{16a^2+4}>a$
NO HAY ANÁLISIS.

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