Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 1 - Problema 1

[Monazo]

Pablo reemplaza cada letra por uno de los números $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, de modo que a letras distintas les correspondan números distintos y que

• $E+F=A$,
• $F+G=B$,
• $G+H=C$,
• $H+I=D$.

Metro 1999 - N1 - P1.png

Determinar los posibles valores de $A+B+C+D$.

[marcoalonzo]

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Veamos que la suma $S$ de todas las letras será $S=\frac{9\cdot 10}{2}=45$.
Además, $S=A+B+C+D+E+F+G+H+I$, donde sustituyendo según lo dado por el enunciado queda $45=E+F+F+G+G+H+H+I+E+F+G+H+I=2E+3F+3G+3H+2I=2(E+I)+3(F+G+H)$
Llamo $x=E+I$ e $y=F+G+H$; entonces nos queda la ecuación diofántica $45=2x+3y$, pues $x$ e $y$ serán naturales ya que estamos sumando los números naturales del $1$ al $9$.
El $mcd(2; 3)=1|45$ por lo tanto la ecuación tiene solución en el conjunto buscado.
Entonces $x=-45+3k$ e $y=45-2k$, con $k$ entero.
Además se debe cumplir que $3\leq E+I \leq 17$, por lo tanto, sustituyendo queda que $16\leq k \leq 20$. Análogamente, trabajando con $F+G+H=y$ se llega a que $11\leq k \leq 19$. Entonces se concluye que $16\leq k \leq 19$ para que cumpla ambas desigualdades.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
k&16&17&18&19\\ \hline
E+I&3&6&9&12\\ \hline
F+G+H&13&11&9&7\\ \hline
A+B+C+D&29&28&27&26\\ \hline
\end{array}
Por lo tanto, en teoría $26\leq A+B+C+D\leq 29$. Los ejemplos están abajo.

Ejemplos

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$A+B+C+D=26$

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$A+B+C+D=27$. No se pueden distribuir los números.
Notemos que el $9$ necesariamente es $A, B, C$ o $D$ porque en caso contrario la suma sería a lo mucho $8+7+6+5=26<27$. Luego si $B$ o $C$ fueran $9$, ocurriría que $F+G$ o $G+H$ serían $9$, pero esto implica que $H$ o $F$ sean $0$, que no puede ocurrir. Si $A=9$, $E+F=9$ pero esto implica que $F=I$, absurdo. Si $D=9$, $H+I=9$, pero esto implica que $E=H$, absurdo. Entonces el $9$ no puede ser ni $A$, ni $B$, ni $C$ ni $D$ entonces no existe una distribución de los números.

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$A+B+C+D=28$

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$A+B+C+D=29$

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