Matías tiene $675$ cubos de $1\times 1\times 1$ con los que construye, usándolos todos y uniendo algunas caras, un paralelepípedo recto. Determinar la menor cantidad de caras de $1\times 1$ que puede tener la superficie de este paralelepípedo.
Sean $a\leq b\leq c$ las medidas de las aristas del paralelepípedo. $abc=675\Longrightarrow a\mid 675, b\mid 675, c\mid 675\Longrightarrow a,b,c\in \{1,3,5,9,15,25,27,45,75,135,225,675\}$
Lo que queremos minimizar es $2(ab+bc+ca)$
$9^3=729>675=abc\geq aaa=a^3\Longrightarrow 9>a\Longrightarrow a\in \{1,3,5\}$
$a=5$
$675=5bc\Longrightarrow 135=bc\Longrightarrow 12^2=144>135=bc\geq bb=b^2\Longrightarrow 12>b\Longrightarrow b\in \{5, 9\}$
Si $b=5$, $2(ab+bc+ca)=2(25+135+135)=590$
Si $b=9$, $2(ab+bc+ca)=2(45+135+75)=510$
Digamos que el paralelepípedo es de $a\times b\times c$, entonces la cantidad de caras es $2(ab+bc+ca)$, de modo que queremos minimizar $ab+bc+ca$ con $abc=675$.
Ahora, notemos que para cada valor posible de $a$, resulta que $bc=\frac{675}{a}$ está fijo, entonces la cuenta es $a(b+c)+bc$ de modo que lo que buscamos minimizar es $b+c$ teniendo fijo $bc$. Los que conocen AM-GM saben que esto se minimiza con $b=c$, lamentablemente acá esto no siempre puede pasar porque tienen que ser enteros.
La intuición entonces nos dice que la suma se minimiza cuando $b$ y $c$ están lo más cerca posible. Para ver esto, consideremos la siguiente cuenta$$\left (\sqrt{b}-\sqrt{c}\right )^2=b+c-2\sqrt{bc}.$$Como $bc$ está fijo, entonces $b+c$ va a ser más chico mientras más cerca estén $\sqrt{b}$ y $\sqrt{c}$, que a su vez pasa cuando más cerca están $b$ y $c$. Entonces para cada valor de $a$, nos alcanza con mirar los dos divisores que más cerca están (siempre que el producto de todos sea $675$). Acá podemos simplemente ir viendo los $12$ divisores de $675$ o bien suponer sin pérdida de generalidad que $a\leqslant b\leqslant c$, entonces $a$ puede ser $1$, $3$ o $5$. En cualquiera de los dos casos, llegamos a que el menor valor posible es $510$ y se obtiene cuando el paralelepípedo es de $5\times 9\times 15$.
Llamemos $a,b,c$ a las longitudes de los lados del paralelepípedo. Podemos ver entonces que $abc=675$ y que la cantidad de caras del paralelepípedo es $2(ab+bc+ca)$. Luego el problema es equivalente a encontrar entre todos los numeros naturales $a,b,c$ tales que $abc=675$, el minimo valor de $2(ab+bc+ca)$. Pero como el $2$ esta multiplicando y es un valor constante y positivo, podemos dividir por $2$ y el problema es equivalente a encontrar el minimo valor de $ab+bc+ca$. De la misma forma, podemos dividir por $675=abc$ y es equivalente a encontrar el minimo valor de $\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Observemos ademas que como $a,b,c$ son numeros naturales, tienen que ser divisores de $675=3^3\times 5^2$.
Vamos a ver que para cualquier valor de $a,b,c$ tenemos que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$.
Si alguno de los tres numeros es $1$ (por ejemplo $a$) entonces $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{a} = 1 \geq \frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$
Si alguno de los tres numeros es $3$ (por ejemplo $a$) entonces $bc=225=15^2$ y alguno de los otros dos numeros es menor o igual a $15$. Supongamos que es $b$. Luego $b\leq 15$ y $\frac{1}{b}\geq \frac{1}{15}$ y entonces $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3} + \frac{1}{b} \geq 1+\frac{1}{15} \geq \frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$
Como $675$ tiene $5$ factores primos y hay que distribuirlos en $3$ numeros, a alguno le va a tocar un solo primo (el caso de que uno de los numeros sea $1$ ya lo vimos. Y entonces el unico caso que nos falta ver es cuando ese numero es $5$. Digamos que $a=5$. Los cuatro primos que quedan ($3,5,5,5$) los podemos dividir de dos formas, $b=3\times 5$ y $c=5\times 5$ o $b=5$ y $c=3\times 3\times 3$. Y en ambos casos tenemos que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$.
Luego el menor valor de caras es $(\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15})\times 2 \times 675=510$.