Regional 2020 N1 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Regional 2020 N1 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

En una clase el profesor entregó a cada alumno una tarjeta de color con un número escrito. Cada alumno debía averiguar cuántos de sus compañeros tenían una tarjeta de su mismo color y cuántos tenían el mismo número escrito. Luego, tenía que escribir en el pizarrón los dos números hallados. Si cada uno de los números: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ y $10$ apareció al menos una vez escrito en el pizarrón, determinar la menor cantidad de alumnos que podía haber en la clase y para ese valor dar un ejemplo de los números anotados por cada alumno.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Uriel J

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Re: Regional 2020 N1 P2

Mensaje sin leer por Uriel J »

Solución:
Spoiler: mostrar
Veamos que si un alumno escribe un número $k$ en el pizarrón, supongamos por la coincidencia en el color, eso significa que hay otros $k$ alumnos con el mismo color de tarjeta que el otro. Entonces, en toda la clase, $k + 1$ alumnos con el mismo color de tarjeta. Entonces en el pizarrón van a aparecer $k+1$ números $k$. Es decir, por ejemplo, que $11$ alumnos van a escribir el número $10$
(Esto mismo pasa en la coincidencia de número de tarjeta)
Entonces la cantidad de números escritos en el pizarrón es mayor o igual a:
$(0+1) + (1+1) + (2+1) + ..... + (10+1) = 1 + 2 + 3 + .... + 11 = \frac{11 . 12}{2} = 66$
Este número podría ser mayor si hubiese un número mayor a $10$ en el pizarrón algo que el enunciado no aclara.

Entonces, $Cant. numeros.pizarron \geq 66$

Como cada alumno escribe $2$ números en el pizarrón por ende $Cant. Alumnos \geq \frac{66}{2} = 33$

Y ahora vamos a dar un ejemplo que la cantidad de alumnos puede ser $33$:

Sea $a_i$ el alumno número $i$

Ejemplo:
$a_1$ a $a_{10}$: Color A (Escriben número 9 en el pizarrón)
$a_{11}$ a $a_{19}$: Color B (Escriben número 8 en el pizarrón)
$a_{20}$ a $a_{26}$: Color C (Escriben número 6 en el pizarrón)
$a_{27}$ a $a_{31}$: Color D (Escriben número 4 en el pizarrón)
$a_{32}$ a $a_{33}$: Color E (Escriben número 1 en el pizarrón)

$a_1$ a $a_{11}$: Número 1 (Escriben número 10 en el pizarrón)
$a_{12}$ a $a_{19}$: Número 2 (Escriben número 7 en el pizarrón)
$a_{20}$ a $a_{25}$: Número 3 (Escriben número 5 en el pizarrón)
$a_{26}$ a $a_{29}$: Número 4 (Escriben número 3 en el pizarrón)
$a_{30}$ a $a_{32}$: Número 5 (Escriben número 2 en el pizarrón)
$a_{33}$: Número 6 (Escribe número 0 en el pizarrón)
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Nice bro, congratulations!
Felibauk

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Re: Regional 2020 N1 P2

Mensaje sin leer por Felibauk »

Este problema también aparece acá. Aunque piden cosas distintas, la resolución es la misma y es fácil llegar de un resultado a otro
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"La matemática es para pensar. El fútbol es para sacar mi instinto animal y decirle al árbitro hdp te voy a m4t4r." Anónimo
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