Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un entero positivo y sean $x_1,x_2,\ldots ,x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demuestre que$$P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k)\geq kP(1).$$
Sea $P(x) = c_1 x^{n} + c_2 x^{n-1} + ... + c_n x + c_{n+1}$ donde sabemos que $c_1, c_2, ..., c_{n+1}$ son reales no negativos.
Buscamos demostrar que:
$c_1(\sum_{i=1}^{k} x_i^n) + c_2(\sum_{i=1}^{k}x_i^{n-1}) + ... + c_n(\sum_{i=1}^{k}x_i) + c_{n+1} (\sum_{i=1}^{k}1) \geq k (c_1 + c_2 + ... + c_{n+1})$
Que sería cierto de ocurrir que para cada $c_j$:
$c_j (\sum_{i=1}^{k} x_i^{n+1-j}) \geq kc_j$
Y ya que $c_j \geq 0$ estariamos si:
$\sum_{i=1}^{k} x_i^{n+1-j} \geq k$
Donde como cada $x_i$ es positivo, por $AM-GM$:
$\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^{n+1-j}}{k} \geq \sqrt[k]{(x_1x_2...x_k)^{n+1-j}} = 1$
$\sum_{i=1}^{k} x_i^{n+1-j} \geq k$
Como $P\in \mathbb{R}_0^+[x]$, entonces es creciente y convexo en $\mathbb{R}_0^+$ (créanme, si saben derivar, háganlo). Entonces por Jensen y AM-GM tenemos que\begin{align*}P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k) & \geq kP\left (\frac{x_1+x_2+\cdots +x_k}{k}\right ) \\
& \geq kP\left (\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k}\right ) \\
& =kP(1)
\end{align*}y con eso estamos, además, la igualdad se da si y sólo si se da en Jensen y en AM-GM, si y sólo si $x_1=x_2=\cdots =x_k=1$.