ONEM 2019 - Nacional - Nivel 3 - P2

[Nando]

Halle todos los números reales $k$ que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera números reales no nulos $a$ y $b$ se cumple que al menos uno de los siguientes números:
$$a,b, \frac5{a^2}+\frac6{b^3}$$
es menor o igual que $k$.

[Fedex]

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Si $a=b=2$
$\frac{5}{4} + \frac{6}{8} = 2$ entonces $k \geq 2$
Para ver que $k=2$ funciona supongamos que existen reales no nulos $a$ y $b$ tal que:
$a > 2$
$b > 2$
$\frac{5}{a^2} + \frac{6}{b^3} > 2$
$\frac{5}{4} + \frac{6}{8} = 2 > \frac{5}{a^2} + \frac{6}{b^3} > 2$
$2 > 2$
Absurdo!!
El mínimo es $k=2$.