FOFO 9+1 Años - Problema 8

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MateoCV

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FOFO 9+1 Años - Problema 8

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Los enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ satisfacen $$1<a_1<a_2<\ldots <a_n<2\cdot a_1.$$Sea $m$ la cantidad de factores primos distintos de $a_1a_2\ldots a_n$. Demostrar que:$$(a_1a_2\ldots a_n)^{m-1}\geq (n!)^m.$$
$2^{82589933}-1$ es primo

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MateoCV

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 8

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Solucion oficial:
Spoiler: mostrar
Sean $p_1,p_2,...,p_m$ los distintos factores primos de $a_1...a_n$. Sea $q_i(k)$ la maxima potencia de $p_i$ que divide a $k$.
Para cada $i$ con $1\leq i\leq m$, veamos la siguiente lista de numeros: $$\frac{a_1}{q_i(a_1)},\frac{a_2}{q_i(a_2)},...,\frac{a_n}{q_i(a_n)}$$
Lema: Estos $n$ numeros son distintos.
Demostracion:
Spoiler: mostrar
Supongamos que dos de ellos son iguales, o sea $$\frac{a_j}{q_i(a_j)}=\frac{a_l}{q_i(a_l)}\:\:\:(1)$$
Si $q_i(a_j)=q_i(a_l)$, entonces al multiplicar ambos lados de $(1)$ por este valor resulta $a_j=a_l$. Lo que no puede ocurrir ya que todos los $a_i$ son distintos.

Si $q_i(a_j)\neq q_i(a_l)$, supongamos sin perdida de generalidad que $q_i(a_j)>q_i(a_l)$, como ambos numeros son potencias de $p_i$ tenemos que $q_i(a_j)\geq p_i\cdot q_i(a_l)$. Multiplicando esta desigualdad con $(1)$ resulta $a_j\geq p_i\cdot a_l\geq 2\cdot a_l$. Por otro lado, por enunciado $a_j<2\cdot a_1\leq 2\cdot a_l$.

Absurdo. Luego los $n$ numeros son distintos.
Como son $n$ enteros positivos distintos, su producto es al menos $n!$
Luego, $$\frac{a_1a_2...a_n}{q_i(a_1)q_i(a_2)...q_i(a_n)}\geq n!$$
Multiplicando estas $m$ desigualdades (para $i=1,2,...,m$) resulta:
$$\frac{(a_1a_2...a_n)^m}{a_1a_2...a_n}\geq (n!)^m$$
Es decir,
$$(a_1a_2...a_n)^{m-1}\geq (n!)^m$$
5  
$2^{82589933}-1$ es primo

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