Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 4

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Nando

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Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 4

Mensaje sin leer por Nando »

Decimos que una función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es progresiva cuando cumple con las siguientes propiedades:
  • $f$ es estrictamente creciente;
  • Los números $a_1,a_2,a_3,\dots$ dados por $a_1=f(1)$ y $a_{n+1}=f(a_n)$ para todo $n\geq 1$ están en progresión aritmética.
Determine todas las funciones progresivas $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que $f(1)=3$.
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Tomás Morcos Porras

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Re: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 4

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

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Por dato del problema tenemos que $a_1=f(1)=3$, y se sigue que $f(3)=a_2$. Al ser $a_1, a_2, a_3...$ una progresión aritmética, $a_n+d=a_{n+1}$, luego tomando $n=1$, tenemos $3+d=f(3)$. Ahora bien, veamos que entre $3$ y $3+d$ hay exactamente $d$ números, es decir que para que la función sea estrictamente creciente, para $x$ en el rango $[3; 3+d]$ se da que $f(x)=x+d$.
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$f(3)=6$, $f(6)=9$, luego $f(4)=7$ y $f(5)=8$
Aún más, el mismo razonamiento funciona para todo $n$, luego cada $d$ tiene una sola forma de asignar la función progresiva para valores de $3$ para arriba.
Teniendo cubiertos los valores para $f(1)$ y $f(x)$ con $x\geq 3$, nos queda ver solamente $f(2)$:
  • Caso $d=1$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=4$, $f(2)$ no puede ser ni $3$ ni $4$, absurdo.
  • Caso $d=2$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=5$, $f(2)=4$.
  • Caso $d\geq 3$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=3+d$, $f(2)$ puede ser cualquier número entre $4$ y $2+d$, aunque, claro, cada opción determinará una función distinta
En definitiva, las funciones progresivas que cumplen son todas aquellas en las que $f(1)=3$, $f(x)=x+d$ para $x\geq 3$ siendo $d$ un parámetro, y $f(2)$ es un valor definido entre $4$ y $2+d$.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
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Turko Arias

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Re: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 4

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Tomás Morcos Porras escribió: Mar 25 Ene, 2022 7:27 pm
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Por dato del problema tenemos que $a_1=f(1)=3$, y se sigue que $f(3)=a_2$. Al ser $a_1, a_2, a_3...$ una progresión aritmética, $a_n+d=a_{n+1}$, luego tomando $n=1$, tenemos $3+d=f(3)$. Ahora bien, veamos que entre $3$ y $3+d$ hay exactamente $d$ números, es decir que para que la función sea estrictamente creciente, para $x$ en el rango $[3; 3+d]$ se da que $f(x)=x+d$.
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$f(3)=6$, $f(6)=9$, luego $f(4)=7$ y $f(5)=8$
Aún más, el mismo razonamiento funciona para todo $n$, luego cada $d$ tiene una sola forma de asignar la función progresiva para valores de $3$ para arriba.
Teniendo cubiertos los valores para $f(1)$ y $f(x)$ con $x\geq 3$, nos queda ver solamente $f(2)$:
  • Caso $d=1$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=4$, $f(2)$ no puede ser ni $3$ ni $4$, absurdo.
  • Caso $d=2$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=5$, $f(2)=4$.
  • Caso $d\geq 3$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=3+d$, $f(2)$ puede ser cualquier número entre $4$ y $2+d$, aunque, claro, cada opción determinará una función distinta
En definitiva, las funciones progresivas que cumplen son todas aquellas en las que $f(1)=3$, $f(x)=x+d$ para $x\geq 3$ siendo $d$ un parámetro, y $f(2)$ es un valor definido entre $4$ y $2+d$.
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Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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