Por dato del problema tenemos que $a_1=f(1)=3$, y se sigue que $f(3)=a_2$. Al ser $a_1, a_2, a_3...$ una progresión aritmética, $a_n+d=a_{n+1}$, luego tomando $n=1$, tenemos $3+d=f(3)$. Ahora bien, veamos que entre $3$ y $3+d$ hay exactamente $d$ números, es decir que para que la función sea estrictamente creciente, para $x$ en el rango $[3; 3+d]$ se da que $f(x)=x+d$.
Aún más, el mismo razonamiento funciona para todo $n$, luego cada $d$ tiene una sola forma de asignar la función progresiva para valores de $3$ para arriba.
Teniendo cubiertos los valores para $f(1)$ y $f(x)$ con $x\geq 3$, nos queda ver solamente $f(2)$:
Caso $d=1$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=4$, $f(2)$ no puede ser ni $3$ ni $4$, absurdo.
Caso $d=2$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=5$, $f(2)=4$.
Caso $d\geq 3$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=3+d$, $f(2)$ puede ser cualquier número entre $4$ y $2+d$, aunque, claro, cada opción determinará una función distinta
En definitiva, las funciones progresivas que cumplen son todas aquellas en las que $f(1)=3$, $f(x)=x+d$ para $x\geq 3$ siendo $d$ un parámetro, y $f(2)$ es un valor definido entre $4$ y $2+d$.
Por dato del problema tenemos que $a_1=f(1)=3$, y se sigue que $f(3)=a_2$. Al ser $a_1, a_2, a_3...$ una progresión aritmética, $a_n+d=a_{n+1}$, luego tomando $n=1$, tenemos $3+d=f(3)$. Ahora bien, veamos que entre $3$ y $3+d$ hay exactamente $d$ números, es decir que para que la función sea estrictamente creciente, para $x$ en el rango $[3; 3+d]$ se da que $f(x)=x+d$.
Aún más, el mismo razonamiento funciona para todo $n$, luego cada $d$ tiene una sola forma de asignar la función progresiva para valores de $3$ para arriba.
Teniendo cubiertos los valores para $f(1)$ y $f(x)$ con $x\geq 3$, nos queda ver solamente $f(2)$:
Caso $d=1$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=4$, $f(2)$ no puede ser ni $3$ ni $4$, absurdo.
Caso $d=2$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=5$, $f(2)=4$.
Caso $d\geq 3$. Como $f(1)=3$ y $f(3)=3+d$, $f(2)$ puede ser cualquier número entre $4$ y $2+d$, aunque, claro, cada opción determinará una función distinta
En definitiva, las funciones progresivas que cumplen son todas aquellas en las que $f(1)=3$, $f(x)=x+d$ para $x\geq 3$ siendo $d$ un parámetro, y $f(2)$ es un valor definido entre $4$ y $2+d$.