Sean $V$ el volumen del paralelepípedo y $x$, $y$, $z$ las longitudes de sus aristas, luego $Área$ $total=2(x+y)z+2xy$$=2(xy+xz+yz)$.
Para $V=xyz=k$ ($k$ $\epsilon$ $\mathbb{N}$), la mínima longitud de la arista mayor se da cuando $x=y=z=\sqrt[3]{k}$.
Dado que $xyz>1000$, y siendo $x$, $y$, $z$ enteros positivos, se tiene que la mínima longitud de dicha arista será $11$ (ya que en el caso de $xyz=1000$, $x=y=z=10$).
Sin pérdida de generalidad: $z=11$, por lo cual $11xy>1000$ $\Rightarrow$ $xy>\frac{1000}{11}=90,\overset{\frown}{90}$.
Buscaremos entonces los posibles productos $xy$ en los que se obtenga $91$ (mínimo resultado entero posible).
Ya que $x$ e $y$ son enteros positivos, se tiene que $xy=91$, por lo que $xy=1.91$ ó $xy=7.13$
En ambos: $V=1001$ (mínimo volumen posible), pero las respectivas áreas serán:
*En el 1º caso: $A=2(1.91+1.11+11.91)=2206$
*En el 2º caso: $A=2(7.13+7.11+11.13)=622$
$\therefore$ Las longitudes de las aristas del paralelepípedo recto que cumple con las restricciones pedidas, serán $7$, $11$ y $13$, siendo $622$ su respectiva área.
