Torneo internacional de las ciudades Otoño 2021: Nivel Juvenil P6

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Felibauk

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Torneo internacional de las ciudades Otoño 2021: Nivel Juvenil P6

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Sea $\lfloor x\rfloor$ la parte entera de $x$, es decir, el mayor entero que es menor o igual que $x$. Demostrar que para todos $n$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots , a_n$ se satisface la siguiente desigualdad:$$\left \lfloor \frac{a_1^2}{a_2}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{a_2^2}{a_3}\right \rfloor +\cdots +\left \lfloor \frac{a_n^2}{a_1}\right \rfloor \geq a_1+a_2+\cdots +a_n.$$

9 PUNTOS
"La matemática es para pensar. El fútbol es para sacar mi instinto animal y decirle al árbitro hdp te voy a m4t4r." Anónimo
Fedex

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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2021: Nivel Juvenil P6

Mensaje sin leer por Fedex »

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Como $a_i$ y $a_{i+1}$ son positivos, por $AM - GM$:
$$\frac{\frac{a_i^2}{a_{i+1}} + a_{i+1}}{2} \geq \sqrt{\frac{a_i^2}{a_{i+1}}a_{i+1}} = a_i\to \frac{a_i^2}{a_{i+1}} \geq 2a_i - a_{i+1}$$
Además $a_i$ y $a_{i+1}$ son enteros, por lo que si aplicamos la función piso a ambos lados tenemos que: $$ \lfloor \frac{a_i^2}{a_{i+1}} \rfloor \geq \lfloor 2a_i - a_{i+1} \rfloor = 2a_i - a_{i+1}$$

Luego sumando estas desigualdades evaluadas en $i = 1, 2, \dots , n$ donde $a_{n+1} = a_1$ tenemos que:

$$ \sum_{i=1}^n \lfloor \frac{a_i^2}{a_{i+1}} \rfloor \geq \sum_{i=1}^n 2a_i - a_{i+1} = \sum_{i=1}^n a_i$$

Que es la desigualdad pedida.
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This homie really did 1 at P6 and dipped.
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