OFO 2022 Problema 8

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AgusBarreto

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OFO 2022 Problema 8

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que la desigualdad $$f(a)+b\cdot f(f(a))\leq a \ (1+f(b))$$se cumple para todos los enteros positivos $a,b$.
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AgusBarreto

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Re: OFO 2022 Problema 8

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Aquí publicaremos la solución oficial.
sebach

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Re: OFO 2022 Problema 8

Mensaje sin leer por sebach »

Spoiler: mostrar
Para todo $a$ natural, puedo tomar $b = f(a)$. Así obtengo que para todo $a$ natural:

$f(a) + f(a)*f(f(a)) \leq a*(1+f(f(a)))$
$f(a) * (1 + f(f(a))) \leq a*(1+f(f(a)))$
Como $f(f(a))$ es natural, dividiendo ambos lados por $1+f(f(a))$ obtengo que $f(a) \leq a$ como condición necesaria sobre la función $f$.

Ahora, esto dice que $f(1) \leq 1$, y como $f(1)$ debe ser natural, debe ocurrir que $f(1) = 1$.
Tomando $a=1$, obtenemos del enunciado que $f(1) + b*f(f(1)) \leq 1*(1+f(b)) \Rightarrow 1 + b \leq 1 + f(b) \Rightarrow b \leq f(b)$ para todo $b$ natural.
Luego, juntando las dos condiciones necesarias, obtenemos que para que la función sea válida debe cumplir necesariamente que $f(x) = x$ para todo natural.
Viendo que la función cumple con el enunciado, queda que es la única.
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