OFO 2022 Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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¿hola?

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OFO 2022 Problema 3

Mensaje sin leer por ¿hola? »

Burbuja, Bombón y Bellota están juntando monedas para salvar a Saltadilla mientras comen una quesadilla, cada una tiene al menos una moneda. Se sabe que el cociente entre la cantidad de monedas de Burbuja y la suma de las cantidades de monedas de Bombón y Bellota es $\dfrac{1000}{1023}$, y que el cociente entre la cantidad de monedas de Bombón y la suma de las cantidades de monedas de Burbuja y Bellota es $\dfrac{146}{143}$.
Calcular el cociente entre la cantidad de monedas de Bellota y la suma de las cantidades de monedas de Burbuja y Bombón.

Aclaración: El cociente entre $x$ e $y$ es la división $\dfrac{x}{y}$.
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¿hola?

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Re: OFO 2022 Problema 3

Mensaje sin leer por ¿hola? »

Aquí publicaremos la solución oficial.
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lola.m

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Re: OFO 2022 Problema 3

Mensaje sin leer por lola.m »

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Burbuja$=A$
Bombón$=B$
Bellota$=C$
Según lo que dice el enunciado:
$\frac{A}{B+C}=\frac{1000}{1023}\to A=\frac{1000}{1023}B+\frac{1000}{1023}C$
$\frac{B}{A+C}=\frac{146}{143}\to B=\frac{146}{143}A+\frac{146}{143}C$
Uso la segunda ecuación para reemplazar $B$ en la primer ecuación:
$A=\frac{1000}{1023}(\frac{146}{143}A+\frac{146}{143}C)+\frac{1000}{1023}C$
$A=\frac{146000}{146289}A+\frac{146000}{146289}C+\frac{1000}{1023}C$
$A-\frac{146000}{146289}A=\frac{146000}{146289}C+\frac{143000}{146289}C$
$\frac{289}{146289}A=\frac{289000}{146289}C$
$A=\frac{289000}{146289}C : \frac{289}{146289}$
$A=\frac{289000}{146289}C\times \frac{146289}{289}$
$A=1000C$
Y ahora uso esta nueva equivalencia para reemplazar $A$ en la segunda ecuación:
$B=\frac{146}{143}1000C+\frac{146}{143}C$
$B=\frac{146000}{143}C+\frac{146}{143}C$
$B=\frac{146146}{143}C$
$B=1022C$
Por último, vamos a lo que tenemos que calcular:
$\frac{C}{A+B}=\frac{C}{1000C+1022C}$
$\frac{C}{A+B}=\frac{C}{2022C}$
$\frac{C}{A+B}=\frac{1}{2022}$
Fedex

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Re: OFO 2022 Problema 3

Mensaje sin leer por Fedex »

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Sean $A,B, C$ las monedas de Burbuja, Bombón y Bellota respectivamente. Notemos que los $3$ cocientes que nos propone el enunciado son homogéneos en nuestras variables. Es decir, si reemplazamos $A$, $B$, $C$ por $rA$, $rB$, $rC$ para un real $r$ tenemos $\frac{rz}{rx + ry} = \frac{z}{x+y}$. Esto da un grado de libertad extra sobre nuestras variables, por lo que diremos que $A + B + C = 2023$. Ahora:
$$ \frac{A}{2023 - A} = \frac{A}{B+C} = \frac{1000}{1023} \to A = 1000$$
$$ \frac{B}{2023 - B} = \frac{B}{A + C} = \frac{146}{143} \to B = 1022$$
$$ A + B + C = 2023 \to C = 1$$
$$ \frac{C}{A+B} = \frac{1}{1000 + 1022} = \frac{1}{2022} $$
Y estamos.
2  
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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Gianni De Rico

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Re: OFO 2022 Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Sean $a$ la cantidad de monedas de Burbuja, $b$ la cantidad de monedas de Bombón, y $c$ la cantidad de monedas de Bellota. El enunciado nos dice que $\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{1000}{1023}$ y $\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{146}{143}$, y nos pide calcular $\dfrac{c}{a+b}$. Multiplicando cruzado y pasando las $c$ para un lado y las $a$ y $b$ para el otro, las igualdades se convierten en $1000c=1023a-1000b$ y $146c=143b-146a$, pero multiplicando por $7$ a ambos lados de esta última igualdad nos queda $1022c=1001b-1022a$, entonces$$2022c=1000c+1022c=1023a-1000b+1001b-1022a=a+b$$con lo que$$\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2022}$$y estamos.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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Mazzo

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Re: OFO 2022 Problema 3

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Sean $x$, $y$, $z$ la cantidad de monedas que tienen Burbuja, Bombón y Bellota, respectivamente.

Lema:
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$\frac{1}{1+\frac{b+c}{a}}+\frac{1}{1+\frac{a+c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a+b}{c}}=1$
Demostración:
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$\frac{1}{1+\frac{b+c}{a}}+\frac{1}{1+\frac{a+c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a+b}{c}}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{a}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{b}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{c}}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
Entonces sabemos que:
$\frac{1}{1+\frac{1023}{1000}}+\frac{1}{1+\frac{143}{146}}+\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1$
$\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1-\frac{1}{1+\frac{1023}{1000}}-\frac{1}{1+\frac{143}{146}}$
$\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=\frac{1}{2023}$

De modo que:
$\frac{x+y}{z}=2022$, por lo que $\frac{z}{x+y}=\frac{1}{2022}$.
3  
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