P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 04 May, 2012 5:45 pm

Hallar todas las funciones [math] tales que
[math]
para todos [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Ivan

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Re: P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 04 May, 2012 6:21 pm

Spoiler: mostrar
Si ponemos [math] en la ecuación original obtenemos
[math]
Usaremos esto varias veces.

Poniendo [math] en la ecuación original queda [math] o sea que
[math]
Aplicando [math] a ambos lados en la ecuación original queda [math]. Ahora poniendo [math] queda
[math]
Entonces si [math], [math] por [math] y si [math], entonces [math] por [math].

Sigue que para todo [math], se tiene [math].

Notemos que todas las funciones de la forma [math] con [math] cumplen la ecuación. Luego estas son todas las funciones que cumplen lo pedido.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Carolang
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Re: P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Carolang » Lun 07 May, 2012 2:43 am

Spoiler: mostrar
Forma alternativa de terminar el problema, cuando ya está para los no negativos:

Tenemos [math].
Supongamos que fijamos [math] en cualquier número negativo. [math] puede ser o bien positivo o bien negativo, no importa. Lo que sí importa es que está fijo.

Como los reales no están acotados por arriba podemos elegir [math] suficientemente grande como para hacer que [math] sea positivo. Ahora aplicamos la fórmula para [math] de un número positivo.

[math]
[math]
Como asumimos que [math] era negativo, nos queda lo que queríamos. Se termina como la otra versión xD
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sebach

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Re: P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por sebach » Lun 07 May, 2012 9:20 pm

Ivan escribió: Notemos que todas las funciones de la forma [math] con [math] cumplen la ecuación. Luego estas son todas las funciones que cumplen lo pedido.
¿Por qué descartaste todas las demás?

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Nacho

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Re: P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 07 May, 2012 9:25 pm

Porque [math] puede tomar cualquier valor fijo [math]. Entonces teníamos que [math]. Y las que son de la pinta [math] cumplen, entonces estás.
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Violeta

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Re: P6-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 30 Abr, 2018 9:56 pm

Spoiler: mostrar
Si $x=0$, tenemos que $f(f(y)) = y$. Luego, tomando $f$ a ambos lados y poniendo $y=0$ y $a=-x^2$, obtenemos $f(a)=f(0)-a=c-a$, para algún $c$ y $a\leq 0$.

Ahora, tomamos $y\mapsto f(y)$ y tenemos que $f(x^2+y)=f(y)-x^2$. Tomando $y=0$ y $a=x^2$, llegamos que $f(a)=f(0)-a=c-a$, para algún $c$ y $a\geq 0$.

Entonces, $f(x)=c-x$ para todo valor real $c$ son los que cumplen.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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