Restando 1 y 2
$x^2 - x + y -y^2 = 0$
$(x-y)(1-x-y)=0$
$x = y \vee 1 = x+y$
Caso 1) 1 = x+y
Reemplazando en la ecuación 3:
$1 + z^2 = 1$
$z = 0$
Restando ambas ecuaciones:
$x+y=1$
$x^2 + y = 1$
$x^2 - x = 0$
$x = 0 \vee x = 1$
$(x, y, z) = \{(1, 0, 0)\}$
Caso 2) $x = y$
Reemplazando en la tercera y segunda ecuación respectivamente:
$2y + z^2 = 1$
$y^2 + y + z = 1$
Restando ambas ecuaciones:
$y^2 -y +z -z^2 = 0$
$(y-z)(1-y-z) = 0$
$y = z \vee 1 = y+z$
Caso 2.1) $1 = y+z$
Reemplazando en la primera ecuación:
$x^2 + 1 = 1$
$x = 0$
Reemplazando el resultado en la segunda ecuación:
$y^2+z = 1$
$y+z = 1$
Restando ambas ecuaciones:
$y^2-y = 0$
$y = 0, z = 1 \vee y = 1, z = 0$
$(x, y, z) = \{(0, 0, 1); (0, 1, 0)\}$
Caso 2.2) $y = z$
$x = y = z$
Reemplazando en la primera ecuación:
$x^2 + x + x= 1$
$(x+1)^2 = 2$
$x = -1 \pm \sqrt2$