Zonal 1996 Nivel 3 Problema 3

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drynshock

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Zonal 1996 Nivel 3 Problema 3

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Encontrar TODAS las ternas de números reales $(x,y,z)$ que verifican simultáneamente:\begin{align*}x^2+y+z & =1 \\
x+y^2+z & =1 \\
x+y+z^2 & =1
\end{align*}
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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drynshock

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Re: Zonal 1996 Nivel 3 Problema 3

Mensaje sin leer por drynshock »

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Restando 1 y 2
$x^2 - x + y -y^2 = 0$
$(x-y)(1-x-y)=0$
$x = y \vee 1 = x+y$

Caso 1) 1 = x+y
Reemplazando en la ecuación 3:
$1 + z^2 = 1$
$z = 0$
Restando ambas ecuaciones:
$x+y=1$
$x^2 + y = 1$

$x^2 - x = 0$
$x = 0 \vee x = 1$

$(x, y, z) = \{(1, 0, 0)\}$


Caso 2) $x = y$
Reemplazando en la tercera y segunda ecuación respectivamente:
$2y + z^2 = 1$
$y^2 + y + z = 1$
Restando ambas ecuaciones:
$y^2 -y +z -z^2 = 0$
$(y-z)(1-y-z) = 0$
$y = z \vee 1 = y+z$

Caso 2.1) $1 = y+z$
Reemplazando en la primera ecuación:
$x^2 + 1 = 1$
$x = 0$
Reemplazando el resultado en la segunda ecuación:
$y^2+z = 1$
$y+z = 1$
Restando ambas ecuaciones:
$y^2-y = 0$
$y = 0, z = 1 \vee y = 1, z = 0$

$(x, y, z) = \{(0, 0, 1); (0, 1, 0)\}$

Caso 2.2) $y = z$
$x = y = z$
Reemplazando en la primera ecuación:
$x^2 + x + x= 1$
$(x+1)^2 = 2$
$x = -1 \pm \sqrt2$

$(x, y, z) = \{(-1 \pm \sqrt2, -1 \pm \sqrt2, -1 \pm \sqrt2) \}$

Todas las soluciones

$(x, y, z) = \{(1, 0, 0); (0, 0, 1); (0, 1, 0); (-1 + \sqrt2, -1 + \sqrt2, -1 + \sqrt2); (-1 - \sqrt2, -1 - \sqrt2, -1 - \sqrt2)\}$
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