Pedro debía sumar todos los números capicúas de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. Si obtuvo como resultado $490776$, hallar el número capicúa que se olvidó de sumar.
Aclaración: Los números capicúas son los que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La primera cifra de la izquierda no puede ser $0$.
Los números capicúas de cuatro cifras los podemos escribir de la siguiente manera: $\overline{abba}=1000a+100b+10b+a=1001a+110b$
Ahora calculemos la suma de todos los números capicúas. Veamos que $b$ puede tomar $10$ valores (0, 1, 2, ..., 9) y que $a$ puede tomar $9$ valores (1, 2, ..., 9). Luego, por cada numero $a$ tenemos $10$ números que se forman con cada valor de $b$. Recíprocamente para todo $b$ hay $9$ números que se forman con $a$. Por lo tanto la suma nos queda: $1001\cdot 10\cdot (1+2+\cdots +9)+110\cdot 9\cdot (0+1+2+\cdots +9)=495000$
Finalmente, $495000-490776=\boxed{4224}$ es el numero que se borro.
Sabemos que los números capicúas de $4$ dígitos son de la forma
$$\overline{abba}$$
con $a$ y $b$ dígitos y $a\neq0$
Ahora supongamos por un momento que $a=1$.
Veamos que tenemos $10$ posibles valores para $b$ (todos los dígitos). Entonces, tenemos $10$ números capicúas de $4$ dígitos que empiezan con $1$. Podemos hacer esto con el resto de los posibles valores para $a$. Y también podemos hacer esto análogamente para los valores que puede tomar $b$ (siempre recordando que $a\neq0$), donde vamos a ver que para cada valor de $b$ vamos a tener $9$ posibles números que sean capicúas de $4$ dígitos.
Ahora para saber cuánto suman todos los capicúas de $4$ dígitos tenemos que sumar todos los valores de $a$ y $b$ (en su respectiva posición en el número) y listo.
Entonces tendríamos que esta suma es
$$10\times(1000+1)\times \frac{9\times 10}{2}+9\times(100+10)\times \frac{9\times 10}{2}=495000$$
Entonces el número que no contó fue
$$495000-490776=4224$$
Chamando esses capicúas de $abcd=dcba$ com $a,d\in\mathbb{N}$ e $b,c\in\mathbb{N}_0$, temos que Pedro somará todos eles exceto um, $N$, e obterá $490.776$.
Para essa tal condição ser obtida em $abcd=dcba$, vale que $a=d$ e $b=c$. Nesses números, a soma de $abcd$ e $dcba$ é igual a $(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001(a+d)+110(b+c)$ Como $a=d$ e $b=c$, temos que a conta fica $1001a+110b$.
Agora calculamos a soma: a cada dígito $a$ de um a nove, existem dez números formados pelo dígito $b$ de zero a nove. Para cada um, a soma é igual a $1001\times10(1+2+3\cdots+9)+110\times9(0+1+2\cdots+9)=10010(45)+990(45)=\boxed{495.000}$.
Finalmente, o número que Pedro não somou é o $N=495.000-490.776=\boxed{4224}$.
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