Maxi eligió $3$ dígitos y haciendo todas las permutaciones posibles obtuvo $6$ números distintos de $3$ dígitos cada uno. Si exactamente uno de los números que obtuvo Maxi es un cuadrado perfecto y exactamente tres son primos, hallar los $3$ dígitos que eligió Maxi. Dar todas las posibilidades de los $3$ dígitos.
Llamemos a los digitos $a,b$ y $c$
Antes que nada, como los 6 numeros que se generan son de tres digitos y distintos, entonces, los tres digitos tienen que ser distintos entre sí y distintos de 0.
Ahora, como exactamente tiene que haber un cuadrado perfecto, veamos cuales son los cuadrados perfectos de $3$ dígitios que van de $10^2=100$ hasta $31^2=961$. Anotemoslos:
$100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961$
Yá se que son muchos pero si ya sacaste los cuadrados perfectos(que en una prueba cono es probablemente lo que más tiempo te tome ya que es sin calculadora) ya casi que tenemos el problema hecho.
Primero saquemos todos los cuadrados que tienen numeros repetidos o dígitos iguales a 0:
$169,196,256,289,324,361,529,576,625,729,784,841,961$
Ahi sacamos bastantes pero también podemos ver que el $169,196,961$ y el $256,625$ forman parte de las mismas permutaciones y que entonces los podemos sacar ya que el problema dice que tiene que haber exactamente un cuadrado perfecto.
Entonces nos queda:
$289,324,361,529,576,729,784,841$
Tambien podemos ver que si $a+b+c=3k$ Entonces todas sus permutaciones tambien van a ser multiplos de 3 por el criterio de divisibilidad de 3. Con esto sacamos $324,576$ y $729$ y nos queda:
$289,361,529,784,841$
Por ultimo, si el numero tiene dos digitos que sean pares o multiplos de $5$, como máximo dos numeros primos se van a poder formar ya que son 2 los numeros que terminan en $1,3,7$ o $9$ que es como los primos terminan. Entonces descartamos el $289,529,784,841$
Y nos quedan solo el
$361$
Y podemos comprobar que es el unico numero que funciona
