O. de Mayo 2010. 2do Nivel P4

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Vladislao

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O. de Mayo 2010. 2do Nivel P4

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 30 Abr, 2011 8:50 pm

Sea [math] un entero tal que [math]. Dado un polígono regular de [math] lados y [math] monedas, debemos colorear los vértices del polígono utilizando [math] colores dados, y luego ubicar las [math] monedas en [math] vértices del polígono. A continuación, cada segundo, todas las monedas se desplazan al vértice vecino, girando en el sentido de las agujas del reloj.
Determina todos los valores de [math] para los que es posible hacer la coloración y elegir las posiciones iniciales de las monedas, de manera que en todo momento las [math] monedas estén todas en vértices de distinto color.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Turko Arias

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Re: O. de Mayo 2010. 2do Nivel P4

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 03 Dic, 2019 3:44 pm

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Supongamos que $n|2010$. Luego pintamos las primeras $\frac{2010}{n}$ casillas del primer color, las segundas $\frac{2010}{n}$ casillas del segundo color, y así hasta pintar las últimas $\frac{2010}{n}$ casillas del $n$-ésimo color, y ubiquemos las monedas en la casilla $1, \frac{2010}{n}+1, 2 \times \frac{2010}{n}+1,...$
Notemos que tras los primeros $\frac{2010}{n}-1$ segundos cada moneda sigue en el color en el que comenzó, y notemos que en el segundo $\frac{2010}{n}$ TODAS cambian al color siguiente. Esto se repite cada $\frac{2010}{n}$ segundos, por lo que los $n$ divisores de $2010$ tales que $1<n<2010$ cumplen lo pedido.

Supongamos ahora que $n \nmid 2010$. Supongamos que $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n$ son las cantidades de vértices pintados de cada color, como $a_1+a_2+...+a_n=2010$, $na_1 \leq 2010$, pero por otro lado, sabemos que $n \nmid 2010$, por lo que tenemos $na_1 < 2010$. Ahora bien, notamos que una vuelta entera (es decir, desplazamientos hasta que todas las monedas vuelvan a su posición inicial) dura $2010$ segundos, y que a lo largo de una vuelta, cada moneda se encuentra durante $a_1$ segundos en un vértice del color $1$. Como en total hay $n$ monedas, como mucho tenemos $na_1$ segundos en los que hay alguna moneda en una casilla de color $1$, pero $na_1<2010$, por lo que hay al menos un segundo en el que ninguna moneda se encuentra en una casilla de ese color, por lo que las $n$ monedas están distribuídas entre los otros $n-1$ colores, lo que necesariamente implica que haya dos monedas ubicadas sobre vértices del mismo color, y por lo tanto si $n \nmid 2010$ es imposible cumplir lo pedido.

Luego, los únicos $n$ que cumplen lo pedido son los divisores de $2010$ que no son $1$ ni $2010$ $\blacksquare$


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