Nacional 2002 N1 P5

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Joacoini

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Nacional 2002 N1 P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:36 pm

Sea $ABC$ un triángulo tal que $A\hat BC=2B\hat CA$; además, si $D$ denota al punto del lado $BC$ tal que $AD$ es bisectriz del ángulo $C\hat AB$, se tiene que $CD=AB$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.
NO HAY ANÁLISIS.

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Ivan

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Re: Nacional 2002 N1 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 26 Nov, 2019 5:03 pm

Spoiler: mostrar
Sea $E$ en el lado $AC$ tal que $BE$ es bisectriz de $ABC$. Entonces $\angle EBC = \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BCA$.

Luego $\angle EBC= \angle BCA = \angle BCE$ y entonces $\stackrel{\triangle}{BEC}$ es isósceles con $CE=BE$.

Ahora por el criterio LAL los triángulos $\stackrel{\triangle}{DCE}$ y $\stackrel{\triangle}{ABE}$ resultan congruentes, ya que $CD=AB$, $\angle DCE = \angle ABE$ y $CE=BE$. Por lo tanto $\angle EDC=\angle EAB$.

Luego $\angle BDE=180^\circ -EDC = 180-\angle EAB$ y entonces $ABDE$ es un cuadrilátero cíclico.

Por lo tanto $\angle EAD=\angle EBD=\angle EBC = \angle BCA$. Como $\angle EAD = \frac{1}{2} \angle CAB$ tenemos $ \angle CAB= 2 \angle BCA$.

Entonces$$180^\circ = \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 2 \angle BCA + \angle BCA + 2\angle BCA = 5 \angle BCA.$$ Entonces $\angle BCA = \frac{180^\circ}{5}= 36^\circ$ y entonces $\angle ABC = \angle CAB = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ$.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Fiebre

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Re: Nacional 2002 N1 P5

Mensaje sin leer por Fiebre » Mié 29 Jul, 2020 8:16 pm

Esta va sin cuadrilátero cíclico:
Spoiler: mostrar
Sea $\angle ACB=\alpha$, luego $\angle CBA=2\alpha$ por enunciado. Por Suma de Ángulos Interiores (SAI) en el triángulo $ABC$, $\angle BAC=180°-3\alpha$. Como $AD$ es bisectriz del ángulo $\angle BAC$, $\angle BAD=\angle CAD=90°-\frac{3}{2}\alpha$.

Sea $E$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta al lado $AC$, luego $\angle CBE=\angle ABE=\alpha$. Después el triángulo $BCE$ es isósceles, ya que $\angle EBC=\angle ECB=\alpha$, entonces $EB=EC$. Por SAI en $BCE$ tenemos que $\angle BEC=180°-2\alpha$, como el ángulo $\angle BEA$ es suplementario al ángulo $\angle BEC$, ya que ambos forman un ángulo llano, tenemos que $\angle BEA=2\alpha$.

Por enunciado $CD=AB$, por ser isósceles el triángulo $BCE$, $BE=CE$ y también sabemos que $\angle ABE=\angle ECD=\alpha$, por lo tanto los triángulos $ABE$ y $DCE$ son semejantes razón $1$, o congruentes, por el criterio LAL. Luego $EA=ED$, $\angle AEB=\angle DEC=2\alpha$.

Como $\angle AED$ es suplementario al ángulo $\angle DEC$, ya que forman un ángulo llano, tenemos que $\angle AED=180°-2\alpha$. Pero $EA=ED$, entonces el triángulo $ADE$ es isósceles, luego por SAI en el triángulo $ADE$ sabiendo que $\angle AED=180°-2\alpha$, tenemos que $\angle EAD=\angle EDA=\alpha$.

Por ultimo $90°-\frac{3}{2}\alpha =\angle CAD=\angle EAD=\alpha$, entoces:

$90°- \frac{3}{2}\alpha =\alpha$

$90°=\frac{5}{2}\alpha$

$180°=5\alpha$

$36°=\alpha$

Finalmente las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ son $\angle ACB=36°$ y $\angle CBA=\angle BAC=72°$.
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Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza

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