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Nacional 2006 N2 P5
Publicado: Sab 25 Ago, 2012 4:38 pm
por Ivan
Se tienen 2006 tarjetas, una con cada número entero de 1 a 2006 que se distribuyen al azar en una hilera, una a continuación de la otra. Dos jugadores, por turnos, sacan una tarjeta de cualquiera de los dos extremos de la hilera, a elección del jugador. Cuando se han retirado todas las tarjetas, se suman los números de las tarjetas que retiró cada jugador y el que obtiene la suma mayor gana. Determinar para cada distribución de las tarjetas cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora, describir la estrategia y demostrar que es ganadora.
Re: Nacional 2006 N2 P5
Publicado: Lun 15 Oct, 2012 5:29 pm
por Martín Vacas Vignolo
- Spoiler: mostrar
- Primero veamos que efectivamente siempre alguien gana, es decir que no puede haber empate.
[math]1+...+2006=1003\cdot 2007, que es efectivamente impar.
Afirmo que el primer jugador tiene estrategia ganadora.
Veamos cuál es:
Sea [math]a_i el reordenamiento, donde [math]a_i está en el lugar [math]i (de izquierda a derecha). Lo que hace el jugador 1 es calcular las sumas [math]P = \sum_{i\text{ par}} a_i y [math]I = \sum_{i \text{ impar}} a_i. Entonces siempre retira los números [math]a_i con [math]i par o impar, dependiendo de cuál de las dos sumas le dió más grande.
Veamos que siempre puede sacar esos: sin pérdida de la generalidad supongamos que [math]P<I, entonces empieza sacando [math]a_1, luego al jugador 2 le quedan para sacar únicamente elementos [math]a_i con [math]i par. Va a tener que sacar uno, supongamos [math]a_2, entonces al jugador 1 le queda [math]a_3 para sacar y nuevamente al jugador 2 le deja dos [math]a_i con [math]i par.
Obviamente gana con esta estrategia ya que sumaría [math]I y su rival sumaría [math]P y [math]P<I.
Re: Nacional 2006 N2 P5
Publicado: Jue 07 Nov, 2019 6:19 pm
por Peznerd
Martín Vacas Vignolo escribió: ↑Lun 15 Oct, 2012 5:29 pm
- Spoiler: mostrar
- Primero veamos que efectivamente siempre alguien gana, es decir que no puede haber empate.
$1+...+2006=1003\cdot 2007$, que es efectivamente impar.
Afirmo que el primer jugador tiene estrategia ganadora.
Veamos cuál es:
Sea $a_i$ el reordenamiento, donde $a_i$ está en el lugar $i$ (de izquierda a derecha). Lo que hace el jugador 1 es calcular las sumas $P = \sum_{i\text{ par}} a_i$ y $I = \sum_{i \text{ impar}} a_i$. Entonces siempre retira los números $a_i$ con $i$ par o impar, dependiendo de cuál de las dos sumas le dió más grande.
Veamos que siempre puede sacar esos: sin pérdida de la generalidad supongamos que $P<I$, entonces empieza sacando $a_1$, luego al jugador 2 le quedan para sacar únicamente elementos $a_i$ con $i$ par. Va a tener que sacar uno, supongamos $a_2$, entonces al jugador 1 le queda $a_3$ para sacar y nuevamente al jugador 2 le deja dos $a_i$ con $i$ par.
Obviamente gana con esta estrategia ya que sumaría $I$ y su rival sumaría $P$ y $P<I$.
¡Brillante!
