En un torneo de fútbol con [math]n \geq 4 equipos cada par de equipos jugó entre sí exactamente una vez. En la tabla final los puntajes de los equipos son [math]n números consecutivos. Hallar el máximo valor posible del puntaje del ganador del torneo. (Una victoria otorga [math]3 puntos, un empate, [math]1 punto, una derrota, [math]0 puntos).
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La máxima cantidad de puntos es obtenida cuando en todos los partidos hay un ganador, y la menor, cuando todos fueron empates. Con esto afirmo lo siguiente: [math]18\geq4x+6\geq12. Desarrollando, queda [math]3\geq{x}\geq2,5, pero como [math]x es entero, [math]x=3. Con esto obtenemos que el último obtuvo [math]3 puntos y el primero [math]6. Ahora veamos que el primero ganó sí o sí [math]2 y perdió el otro, ya que si no se pasa de los [math]3 partidos. Como el que sacó [math]5 puntos quedó invicto, el primero le ganó al último y al tercero, y perdió con el segundo, pero éste empato con los dos últimos, y el último sacó [math]2 puntos con el tercero, CONTRADICCIÓN! Por lo que es imposible obtener lo pedido con el caso [math]n=4
No probé con los casos siguientes, por lo tanto no se si es este en particular o el problema en general.
No lo pensé mucho, pero en sí tenés que calcular la suma máxima de puntos que se pueden obtener entre todos. La cantidad de partidos es [math]\frac{n(n-1)}{2} y la cantidad de puntos totales la podés ver como [math]3\frac{n(n-1)}{2} - e donde [math]e es la cantidad de partidos empatados... Planteando la igualdad de eso con la suma de [math]n números consecutivos, llegás a que [math]e tiene que ser múltiplo de [math]n. [math]e=0 claramente no funciona porque todos los puntajes serían múltiplos de [math]3, o sea es imposible que sean consecutivos. Y después tal vez se puede demostrar que [math]e=n funciona para el máximo, no sé...
Como dijimos antes, planteemos la suma de [math]n consecutivos, como [math]mn+\frac{n(n-1)}{2} donde [math]m es el menor de estos números consecutivos y [math]n es el n del problema. Luego, sabemos que: [math]3\frac{n(n-1)}{2} - e=mn+\frac{n(n-1)}{2}.
Despejando, [math]n(n-1-m)=e. Y por lo que dijimos antes [math]e\geq n. Luego, [math]n(n-1-m)\geq n \Rightarrow n-1-m \geq 1. El número más grande es [math]m+n-1, y lo podemos acotar, con esto último, por [math]2n-3.
aca tengo una demostracion de que n solo puede ser 4
Dado un puntaje X, la minima cantidad de partidos ganados es: $(X-(n-1))/3)$ es la minima porque se supone en este caso que los demas fueron empatados para alcanzar el valor de X, si uno ajusta esto para puntajes consecutivos tiene haciendo una suma de elementos de sucesion aritmetica:
que la minima cantidad de partidos ganados es $((3*n*(n-1)+n^2-n)/2n)+n$ despues pongo las formulas porque me tengo que ir.
la minima cantidad de partidos ganados no puede superar a $(n*(n-1))/2$ que es la maxima cantidad de partidos ganados (la mitad), esta funcion solo esta cerca de la otra en n=4, 10 y 12 donde podria ser que teniendo en cuenta que son numeros enteros redondear y por eso se puede pero con n=5 una funcion da 8 y la otra 20 asi que seria imposible
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
Veamos que la cantidad de partidos serán: $\frac{n . (n - 1)}{2}$, debido a que cada equipo juega una vez con cada uno de los demás equipos y el equipo $n$ juega contra $n-1$ equipos, el equipo $n-1$ juega contra $n-2$ equipos y así consecutivamente.
Entonces al ser $\frac{n . (n - 1)}{2}$ la cantidad de equipos, bastaría con multiplicar por tres está cantidad para sacar la cantidad total de puntos a repartir máxima, es decir: $\frac{n . (n - 1)}{2}$ . $3$, pero al ser números consecutivos esto implica que hubo empates, debido a que si son $A$, $B$, $C$ y $D$ los equipos (en este caso 4, pero podría ser cualquier $n ≥ 4$), es sabido que si los puntajes son: $x$, $x+1$, $x+2$, $x +3$ al menos dos de estos cuatro equipos tienen que tener una cantidad de puntos no múltiplo de 3, lo cual implica que hubo empates.
Sí $n$ = 4, entonces:
Partidos totales: $\frac{4 . (4 - 1)}{2}$ = $6$
Llamemos $P$ a la cantidad de puntos totales a repartir, entonces:
Sean $A$, $B$, $C$, y $D$ los equipos y $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$ los puntajes respectivamente.
Cómo $P$ no puede ser igual a $6$ . $3$ por lo dicho anteriormente, entonces $P$ tiene que ser a lo máximo $18$ - $4$, debido a que al ser números consecutivos si a uno le restas uno a los otros igual.
Por lo tanto:
La cantidad de puntos a repartir en $n$ equipos en $\frac{n . (n - 1)}{2}$ partidos será como máximo $\frac{n . (n - 1)}{2}$ . $3$ - $n$.
Siguiendo con $n$ = $4$ la ecuación que quedaría con $P$ = $14$ sería:
$14$ = 4$x$ + $6$
Despejando obtenemos que $x$ = $2$.
Por lo tanto los puntos de $A$, $B$, $C$ y $D$ serán $2$, $3$, $4$, $5$ respectivamente.
Por lo que si tenemos $n$ equipos y sea $x$ la cantidad máxima de puntos del ganador ésta estará dada por la siguiente ecuación:
$$(\frac{n . (n - 1)}{2} .3) - n = n . x - \frac{n . (n - 1)}{2}$$
Despejando:
$$(\frac{n^2 - n}{2} .3) - n = n . x - \frac{n . (n - 1)}{2}$$
$$(\frac{3n^2 - 3n}{2}) - n = n . x - \frac{n . (n - 1)}{2}$$
$$(\frac{3n^2 - 3n}{2}) - n + \frac{n . (n - 1)}{2} = n . x$$
$$(\frac{4n^2 - 4n}{2}) - n = n . x$$
$$2n^2 - 2n - n = n . x$$
$$2n^2 - 3n = n . x$$
$$(\frac{2n^2 - 3n}{n}) = x$$
Finalmente:
$$2n - 3 = x$$
Partidos totales: $\frac{4 . (4 - 1)}{2}$ = $6$
Llamemos $P$ a la cantidad de puntos totales a repartir, entonces:
Sean $A$, $B$, $C$, y $D$ los equipos y $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$ los puntajes respectivamente.
Cómo $P$ no puede ser igual a $6$ . $3$ por lo dicho anteriormente, entonces $P$ tiene que ser a lo máximo $18$ - $4$, debido a que al ser números consecutivos si a uno le restas uno a los otros igual.
Por lo tanto:
La cantidad de puntos a repartir en $n$ equipos en $\frac{n . (n - 1)}{2}$ partidos será como máximo $\frac{n . (n - 1)}{2}$ . $3$ - $n$.
Me encantó este paso en la solución, creo que es la esencia del problema.
Eso sí, me gustaría aclarar un poco mejor qué es lo que está sucediendo, ya que esta parte no me parece del todo cierta
MathIQ escribió: ↑Jue 12 Ene, 2023 8:17 pm
entonces $P$ tiene que ser a lo máximo $18$ - $4$, debido a que al ser números consecutivos si a uno le restas uno a los otros igual.
En este caso deducis que $P \leq 18$ pues $P \leq 0+3+6+9$. No hay números consecutivos en estos casos así que no tiene sentido usar el argumento de "restar $4$"
Supongamos que tenemos $n$ puntajes consecutivos $x, x-1, \ldots, x-(n-1)$ cuya suma es $P = nx - \frac{n(n-1)}{2}$ .
Pero al contar la cantidad total de partidos, como en cada uno se dan a lo sumo $3$ puntos, resulta $P \leq 3 \frac{n(n-1)}{2}$.
De esto se sigue que $$nx - \frac{n(n-1)}{2} \leq 3 \frac{n(n-1)}{2} $$
$$nx \leq 4 \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1) $$
$$x \leq 2n-2$$
Sin embargo $x=2n-2$ sólo sucede cuando $P = 3 \frac{n(n-1)}{2} $ que sucede cuando no hubo ningún empate y todos los puntajes individuales son múltiplos de $3$, lo que conduce a un absurdo al pensar que hubo puntajes consecutivos.
Para mostrar que $x=2n-3$ es el máximo hay que mostrar un ejemplo (caso contrario la demostración está incompleta y el problema no está para nada resuelto).
Puede suceder que, al igual que para $x=2n-2$, no haya ejemplos de torneos.
