Nacional 2000 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por Ivan » Jue 07 Feb, 2013 2:08 am

Laura debe elegir números naturales, sin repetir, desde [math] hasta [math], inclusive, de modo que ninguno de los elegidos sea igual al triple de otro de los elegidos. Determinar cuál es la mayor cantidad de números que puede elegir Laura.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

bruno
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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por bruno » Jue 07 Feb, 2013 3:29 am

Empecemos viendo el intervalo [math] porque podemos elegir todos los [math] que no sean multiplos de [math] ya que no me impediria elegir el numero [math] y ademas [math].

Por otro lado en el intervalo [math] no es conveniente elegir los numeros de la forma [math] ya que me impede elegir tanto el [math] como el [math]. Luego nos quedamos con los numeros que tienen resto [math] y [math] en la division por [math] y si los observamos vemos que los triples de esos numeros desde [math] hasta [math] son los multiplos de [math] en el intervalo [math] que no elegi y desde [math] hasta [math] son los multiplos de [math] en el intervalo [math].

Por lo tanto la mayor cantidad de numeros se obtiene eligiendo todos los numeros del intervalo [math] y los no multiplos de [math] en el intervalo [math]. En total son [math] numeros.

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ésta

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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por ésta » Jue 07 Feb, 2013 1:55 pm

Pero por ejemplo podría agregar el [math] a tu eleccion y no habría ningún problema porque no se eligió ni el [math] ni el [math].
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jhn

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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por jhn » Sab 09 Feb, 2013 6:57 pm

Spoiler: mostrar
Si se escogen los números [math] no divisibles entre 3 y los de la forma [math], [math] y [math], en el intervalo de 1 a 2000, resultan

[math]

[math],

de los cuales ninguno es triple de otro. No puede haber más, pues si [math] y [math] entonces de cada conjunto [math], [math], [math], [math] a lo sumo se puede seleccionar un elemento.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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tuvie

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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 10 Feb, 2013 12:25 am

Este no es igual al 2 del provincial de nivel 1? Solo que con un rango mayor y en lugar del triple, 10 veces.

Agusanso

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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por Agusanso » Dom 10 Feb, 2013 12:37 am

Jaja estaba por comentar lo mismo, es bastante parecido.
Aguante el paco vieja

Peznerd
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Re: Nacional 2000 N2 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 03 Nov, 2019 4:58 pm

jhn escribió:
Sab 09 Feb, 2013 6:57 pm
Spoiler: mostrar
Si se escogen los números $k$ no divisibles entre 3 y los de la forma $3^2k$, $3^4k$ y $3^6k$, en el intervalo de 1 a 2000, resultan

$2000-\lfloor\frac{2000}{3}\rfloor+\lfloor\frac{2000}{9}\rfloor-\lfloor\frac{2000}{27}\rfloor+\lfloor\frac{2000}{81}\rfloor-\lfloor\frac{2000}{243}\rfloor+\lfloor\frac{2000}{729}\rfloor$

$=2000-666+222-74+24-8+2=1500$,

de los cuales ninguno es triple de otro. No puede haber más, pues si $X=\{1,2,\ldots,2000\}$ y $3\nmid k$ entonces de cada conjunto $\{k,3k\}\cap X$, $\{3^2k,3^3k\}\cap X$, $\{3^4k,3^5k\}\cap X$, $\{3^6k\}\cap X$ a lo sumo se puede seleccionar un elemento.
Sip, me había dado mal pero conté tres números de más.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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