Intercolegial 2013 N1 P3

[Ivan]

Unos amigos hicieron un código que a cada letra le asigna un número entero positivo de [math]1 o [math]2 dígitos. Usando ese código escribieron:

[math]\text{LA RECTA CORTA AL RECTANGULO EN DOS PUNTOS}

y obtuvieron

[math]125\qquad 72441325\qquad 418372325 \qquad 251\qquad 724413259598183 \qquad 49 \qquad 78334 \qquad 298938334

Hallar los números que corresponden a cada una de las [math]13 letras que utiliza la frase.

[agosi]

A=25
C=41
D=7
E=4
G=5
L=1
N=9
O=83
P=29
R=72
S=34
T=3
U=98

[Ivan]

Mirando [math]AL=251 y [math]LA=125 sale que [math]\fbox{L=1} y [math]\fbox{A=25}.

Mirando [math]EN=49 sale [math]\fbox{E=4} y [math]\fbox{N=9}.

Notemos que [math]259=AN aparece solamente una vez en [math]724413259598183=RECTANGULO, luego [math]RECT=724413 y [math]GULO=598183.

Mirando [math]RECT=724413, tenemos que el [math]4 correspondiente a la [math]E necesariamente es el primero. Luego [math]\fbox{R=72} y [math]CT=413. De esto último se deduce que [math]T=3 o [math]T=13.

Tenemos [math]CORTA=418372325 y luego [math]CORT=4183723 y de esto se deduce que [math]\fbox{T=3} (porque no puede ser [math]13).

Volviendo a mirar [math]CT=413 tenemos [math]\fbox{C=41}. Ahora, volviendo a mirar [math]CORT tenemos [math]\fbox{O=83}.

Como [math]83=O aparece en [math]78334=DOS una sola vez, tenemos [math]\fbox{D=7} y [math]\fbox{S=34}.

Ahora de [math]GULO=598183 deducimos [math]GU=598.

Mirando [math]PUNTOS tenemos [math]PU=298.

Y acá hay dos opciones, cualquiera de las dos verifica todo:

• [math]\fbox{G=5}, [math]\fbox{P=2}, [math]\fbox{U=98}
• [math]\fbox{G=59}, [math]\fbox{P=29}, [math]\fbox{U=8}

[tuvie]

Muy pocos se dieron cuenta de los dos casos

[Matías V5]

Muy pocos se dieron cuenta de los dos casos

De hecho, la solución que hay en el libro de OMA (Problemas 25) está mal, porque también considera uno solo de los dos casos (deduce que [math]U=98 y también podía ser [math]8). Me di cuenta recién ayer.
Así que si alguien llega a este thread después de leer la solución del libro sospechando que está mal (como me pasó a mí), puede quedarse tranquilo que está en lo cierto