Selectivo Ibero 2005 - Problema 2

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Caro - V3

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Selectivo Ibero 2005 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Jue 13 Jun, 2013 9:38 pm

En un tablero de [math] cuadriculado en cuadritos de [math] hay que colocar piezas rectangulares, cubriendo exactamente casillas del tablero, como en la batalla naval, de modo que dos piezas no se pueden tocar ni siquiera en un vértice. Decidir si con esas reglas es posible colocar
a) [math] de [math], [math] de [math], [math] de [math] y [math] de [math];
b) [math] de [math], [math] de [math], [math] de [math], [math] de [math] y [math] de [math];
c) [math] de [math], [math] de [math], [math] de [math], [math] de [math] y [math] de [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Johanna

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Re: Selectivo Ibero 2005 - Problema 2

Mensaje sin leer por Johanna » Sab 15 Ago, 2015 11:35 pm

Para la parte c
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Cada ficha ocupa una distinta cantidad de vertices.
[math]x[math] vertices
[math]x[math] vertices
[math]x[math] vertices
[math]x[math] vertices
[math]x[math] vertices

Entonces todas las fichas ocuparian [math] vertices, pero el tablero tiene solo tiene [math] vertices entonces no se puede llenar con estas fichas
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Julian_Ferres

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Re: Selectivo Ibero 2005 - Problema 2

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Lun 21 Dic, 2015 12:50 am

Parte a)
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No se puede
Notemos que haciendo la cuenta al igual que Johanna en la "parte c" obtenemos que se utilizan [math] de los [math] vertices del tablero y que los demas deben estar ocupados.

Ademas se ve facil que el vertice no ocupado no puede estar ni en la esquina ni en los bordes del tablero (uso que algunas casillas adyacentes deben estar ocupadas y estas bloquean a otras, esto conduce a que mas de un vertice no se ocupe, lo cual
es absurdo)

Ahora veamos que todos los vertices del marco estan ocupados y consecuentemente lo estan los del marco de lado 10 vertices.

Asi me reduzco el tablero a llenar uno de [math] casillas con un vertice no ocupado y analogamente llego a uno de [math] casillas con un vertice no ocupado, el cual no es posible cubrir.
Parte b)
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Se puede:
IMG_20151221_242837712_HDR.jpg
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2005 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 04 Dic, 2017 12:42 am

a)
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Pintamos los vértices del tablero como se muestra en la figura
Selectivo Ibero 2005 P2.png




De esta forma, cada ficha de $1\times 1$ cubre exactamente un vértice rojo, cada ficha de $1\times 2$ cubre al menos un vértice rojo, cada ficha de $1\times 3$ cubre exactamente dos vértices rojos y cada ficha de $1\times 4$ cubre al menos dos vértices rojos.

Si fuese posible colocar las fichas, ningún vértice rojo debería quedar cubierto más de una vez. Como tenemos $8$ fichas de $1\times 1$, $6$ fichas de $1\times 2$, $4$ fichas de $1\times 3$ y $2$ fichas de $1\times 4$, cubrimos al menos $8+6+2\times 4+2\times 2=26$ vértices rojos, pero el tablero tiene $25$ vértices rojos, se sigue por Palomar que estamos cubriendo al menos un vértice rojo más de una vez. Luego, no es posible colocar las fichas.
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[math]

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