Nacional N2 P4 2007

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3,14

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Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 12 Oct, 2013 4:05 pm

Hay [math] rectas distintas en un plano, tal que cada una de ellas corta exactamente a otras 2007. Hallar todos los valores de [math] para los cuales esto es posible.
[math]

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3,14

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Re: Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 12 Oct, 2013 4:07 pm

¿Puede ser que si se cortan [math] rectas, entonces los únicos valores posibles sean [math] y [math]? (2008 y 4014)
[math]

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Nacho

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Re: Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 12 Oct, 2013 4:24 pm

Acá está la solución:
Nacho escribió: Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces [math] a las rectas "principales".
Sea [math] la cantidad de rectas paralelas a [math] (incluyendo [math]).
Sea [math] la cantidad de rectas que intersectan a [math].
Por enunciado, [math].
Vemos tambien que [math].
Observamos ahora que [math] pues se corta con todas las rectas menos las que son paralelas y sí misma.
Sumamos ahora: [math]
[math]
[math] Entonces, vemos claramente que [math], y como [math] y [math]son coprimos, [math]. Vemos por lo tanto que los posibles valores de [math] son [math]
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Sandy

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Re: Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por Sandy » Jue 23 May, 2019 8:22 pm

Nacho escribió:
Sab 12 Oct, 2013 4:24 pm
Acá está la solución:
Nacho escribió: Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces $r_1 , \cdots , r_k$ a las rectas "principales".
Sea $f(r_i)$ la cantidad de rectas paralelas a $r_i$ (incluyendo $r_i$).
Sea $g(r_i)$ la cantidad de rectas que intersectan a $r_i$.
Por enunciado, $g(r_1) = \cdots = g(r_k) = 2007$.
Vemos tambien que $f(r_1) + \cdots + f(r_k) = n$.
Observamos ahora que $n-f(r_i) = g(r_i)$ pues se corta con todas las rectas menos las que son paralelas y sí misma.
Sumamos ahora: $\sum_{i=0}^n n-f(r_i) = 2007\cdot k$
$n\cdot k - (f(r_1)+\cdots + f(r_k)) = 2007k$
$n\cdot (k-1) = 2007k$ Entonces, vemos claramente que $n = \frac{2007k}{k-1}$, y como $k-1$ y $k$son coprimos, $k-1 \mid 2007$. Vemos por lo tanto que los posibles valores de $n$ son $2008,2010,2016,2230,2676,4014$
Una pregunta, puede ser que en la sumatoria sea desde $i=0$ hasta $k$ en vez de hasta $n$??

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Gianni De Rico

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Re: Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 9:31 pm

Sandy escribió:
Jue 23 May, 2019 8:22 pm
Una pregunta, puede ser que en la sumatoria sea desde $i=0$ hasta $k$ en vez de hasta $n$??
La sumatoria es desde $i=1$ hasta $k$ (fijate que los demás valores no están definidos, y que entre $0$ y $k$ inclusive hay $k+1$ números, entonces debería dar $2007(k+1)$).
1  
[math]

Sandy

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Re: Nacional N2 P4 2007

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 24 May, 2019 2:12 am

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 9:31 pm
Es
La sumatoria es desde $i=1$ hasta $k$ (fijate que los demás valores no están definidos, y que entre $0$ y $k$ inclusive hay $k+1$ números, entonces debería dar $2007(k+1)$).
Eso eso, lo que decía era que era hasta $k$ en vez de hasta $n$, gracias!

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