Para cualquier sucesión [math]\left \{a _{1},a_{2}, \ldots, a_{2013} \right \} de enteros, diremos que una terna [math]\left \{ i,j,k \right \} que satisface [math]1\leq i<j < k\leq 2013 es progresiva si [math]a_{k}-a_{j}=a_{j}-a_{i}=1. Determinar la máxima cantidad de ternas progresivas que puede tener una sucesión de [math]2013 enteros.
Como en una terna progresiva $\{i,j,k\}$ tenemos que $a_k-a_j=a_j-a_i=1\implies a_k-a_i=2$, obtenemos que $a_i$, $a_j$ y $a_k$ tienen congruencias distintas en módulo $3$, por lo tanto la cantidad de ternas progresivas es menor o igual a la cantidad de ternas $\{i,j,k\}$ con $a_i$, $a_j$ y $a_k$ con distintas congruencias en módulo $3$.
Si $x$ es la cantidad de enteros $a_i\equiv 0(3)$, $y$ es la cantidad de enteros $a_i\equiv 1(3)$ y $z$ es la cantidad de enteros $a_i\equiv 2(3)$, la cantidad de ternas $\{i, j, k\}$ con $a_i$, $a_j$ y $a_k$ con distintas congruencias en módulo $3$ es igual a $xyz$. Como $x+y+z=2013$, usando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos que $\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz}\implies 671\geq\sqrt[3]{xyz}\implies xyz\leq 671^3=302111711$, por lo tanto la cantidad de ternas progresivas es menor o igual a $302111711$.
Si tomamos $a_i=1$ $\forall(i\in N\wedge i\leq 671)$, $a_j=2$ $\forall(j\in N\wedge 672\leq j\leq 1342)$ y $a_k=3$ $\forall(k\in N\wedge 1343\leq k\leq 2013)$, tenemos que una terna $\{i,j,k\}$ es progresiva si y solo si $1\leq i\leq 671<j\leq 1342<k\leq 2013$, entonces tenemos $671^3=302111711$ ternas.
Por lo tanto concluimos que la máxima cantidad posible de ternas progresivas es $302111711$.
