Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 1 - P2

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Ignacio B
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Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 1 - P2

Mensaje sin leer por Ignacio B » Dom 14 Sep, 2014 4:42 pm

El número [math] está escrito en el pizarrón. Alan y Brian juegan por turnos al siguiente juego. En cada turno el jugador de ese turno reemplaza el número del pizarrón por la resta entre ese número y uno de sus divisores, a elección. Empieza Alan. Pierde el jugador que escribe [math]. Determinar cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora.

fleschler.ian

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 1 - P2

Mensaje sin leer por fleschler.ian » Dom 14 Sep, 2014 10:05 pm

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Describo la estrategia ganadora que tiene Brian para ganarle a Alan. Es fácil observar que si en un turno uno de los dos tiene escrito un número impar, va a terminar restandole necesariamente un número impar (ya que todos sus divisores son impares). Obteniendo así un impar. Observemos que el Imagen es impar. Alan va a empezar escribiendo un número par. Brian puede conseguir devolverle un número impar restandole Imagen a lo que dijo Alan (Ya que todo número es divisible por Imagen). Si en todos los turnos de Brian repite ese procedimiento, es fácil ver que como los números que ambos escriben disminuyen, en algún momento Alan va a terminar diciendo el Imagen y así perdiendo el juego.
Generalización: Por lo tanto se puede ver que si se empieza con un impar el segundo tiene una estrategia ganadora y si se empieza con un par el que empieza tiene una estrategia ganadora.
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