Regional 2014 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.

Re: Regional 2014 N2 P1

UNREAD_POSTpor Caro - V3 » Mar 22 Sep, 2015 7:48 pm

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Analicemos todas las posibilidades:

1) Si usamos al menos un cubo de $4 \times 4 \times 4$:
No nos queda lugar para cubos de arista mayor a $1$. Por lo tanto, estaríamos usando $5 \times 5 \times 5 - 4 \times 4 \times 4 = 61$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $62$ cubos.

2) Si no usamos ninguno de $4 \times 4 \times 4$ y usamos al menos uno de $3 \times 3 \times 3$:
No podemos poner otro de $3 \times 3 \times 3$. A su vez, si hacemos un lindo dibujo podemos ver que la máxima cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ que podemos meter es $7$. Nos resta llenar con $5 \times 5 \times 5 - 3 \times 3 \times 3 - 7 \times (2 \times 2 \times 2) = 42$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $50$ cubos.
Nota: es claro que hay que maximizar la cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ para minimizar la cantidad total de cubos a usar.

3) Si no usamos ninguno de $4 \times 4 \times 4$, ninguno de $3 \times 3 \times 3$ y usamos al menos uno de $2 \times 2 \times 2$:
También vamos a intentar meter la mayor cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ que podamos. No es muy difícil ver que esta cantidad es $8$, y así nos quedan también $5 \times 5 \times 5 - 8 \times (2 \times 2 \times 2) = 61$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $69$ cubos.

4) Si usamos sólo cubos de $1 \times 1 \times 1$: nos da $125$ cubos.

Por lo tanto, la subdivisión de Lucas tiene $50$ cubos en total, de los cuales $1$ es de $3 \times 3 \times 3$, $7$ son de $2 \times 2 \times 2$ y $42$ de $1 \times 1 \times 1$.
Guía de $\LaTeX$: sirve para escribir ecuaciones como $\frac{11}{8}+ x \lfloor \pi \rfloor = 1$
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Re: Regional 2014 N2 P1

UNREAD_POSTpor 17930 » Mar 22 Sep, 2015 10:57 pm

Caro - V3 escribió:
Spoiler: Mostrar
Analicemos todas las posibilidades:

1) Si usamos al menos un cubo de $4 \times 4 \times 4$:
No nos queda lugar para cubos de arista mayor a $1$. Por lo tanto, estaríamos usando $5 \times 5 \times 5 - 4 \times 4 \times 4 = 61$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $62$ cubos.

2) Si no usamos ninguno de $4 \times 4 \times 4$ y usamos al menos uno de $3 \times 3 \times 3$:
No podemos poner otro de $3 \times 3 \times 3$. A su vez, si hacemos un lindo dibujo podemos ver que la máxima cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ que podemos meter es $7$. Nos resta llenar con $5 \times 5 \times 5 - 3 \times 3 \times 3 - 7 \times (2 \times 2 \times 2) = 42$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $50$ cubos.
Nota: es claro que hay que maximizar la cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ para minimizar la cantidad total de cubos a usar.

3) Si no usamos ninguno de $4 \times 4 \times 4$, ninguno de $3 \times 3 \times 3$ y usamos al menos uno de $2 \times 2 \times 2$:
También vamos a intentar meter la mayor cantidad de cubos de $2 \times 2 \times 2$ que podamos. No es muy difícil ver que esta cantidad es $8$, y así nos quedan también $5 \times 5 \times 5 - 8 \times (2 \times 2 \times 2) = 61$ cubos de $1 \times 1 \times 1$.
Total: $69$ cubos.

4) Si usamos sólo cubos de $1 \times 1 \times 1$: nos da $125$ cubos.

Por lo tanto, la subdivisión de Lucas tiene $50$ cubos en total, de los cuales $1$ es de $3 \times 3 \times 3$, $7$ son de $2 \times 2 \times 2$ y $42$ de $1 \times 1 \times 1$.


Ya entendi, que idiota soy. Pero ahora tengo esta otra duda:
Si utilizo uno de 4x4x4= 61. Ahora uso 2 3x3x3= 7. 7 de1x1x1
Total: 9 cubos?
O no es posible debido a que, al ser cubos no pueden ser colocados como digo yo?

EDIT: lo volvi a hacer y me dio 50, excelente mil gracias :P.

17930
 
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Re: Regional 2014 N2 P1

UNREAD_POSTpor ¿hola? » Sab 12 Ago, 2017 1:23 pm

respuesta 100% real no fake.
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se puede con 50 cubitos.
si uso uno de lado 4 los demás serán de lado 1 y esto nos da mas cubitos que 50.
si uso solo de lado 1 también necesito mas de 50 cubitos.
para los siguientes casos colorearemos el cubo con 8 colores de forma tal que cada cubo de lado 2 contenga exactamente uno cada color.
los colores son A, B, C, D, E, F, G, H. (divido el cubo de lado 5 en 5 capas de 5 por 5 para simplificar el dibujo).
capa 1 que es igual a la 3 y a la 5

ABABA
CDCDC
ABABA
CDCDC
ABABA

capa 2 que es igual a la 4.

EFEFE
GHGHG
EFEFE
GHGHG
EFEFE

Veamos que hay solo 8 casillas con el color H entonces como máximo hay 8 cubos de lado 2.
si no hay un cubo de lado 3 entonces serán una máximo de 8 y cubos de lado 2 y 61 de lado 1 que son mas de 50.
si uso uno de lado 3 (se puede probar que solo hay puede haber uno de lado 3 coloreando parecido al coloreo anterior pero con 27 colores).
el de lado 3 incluye a uno de lado 2 así que también ocupara una casilla de color H y me quedarían 7 de estas casillas osea un máximo de...
un cubo de lado 3, 7 cubos de lado 2 y 42 de lado 1. que da exactamente 50 y el ejemplo es fácil.

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no me perece tan trivial que la máxima cantidad de cubos de lado 2 sea 8 y si uso de lado 3 la máxima cantidad de cubos de lado 2 sea 7
Yes, he who
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¿hola?
 
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