Se tiene una alfombra rectangular de dimensiones desconocidas. Sólo se sabe que sus lados son de longitudes enteras y que sobre la alfombra es posible colocar, sin superposiciones, [math]234 cuadrados de [math]3 \times 3 con sus lados paralelos a los de la alfombra. Determinar el número máximo de rectángulos de [math]1 \times 5 que con certeza se pueden colocar sobre esa alfombra, sin superposiciones y con sus lados paralelos a los de la alfombra.
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
Las proporciones de la alfombra medidas de a cuadrados de 3x3 son los divisores de 234, pero para que la medida sea de a un cuadradito de 1x1 hay que multiplicar a estos divisores por 3.
$234=3^2*2*13$
Las medidas pueden ser:
3x702
6x351
9x234
18x117
27x78
39x54
en el eje X, y en el eje Y puede haber solo una distancia que es un múltiplo de 5 cubierta por rectángulos de 1x5, el caso 9x234 es donde menos rectángulos se pueden poner ya que sus dos distancias tienen resto 4 en la división por 5 por lo que poniendo una columna vertical de 5 de ancho y 234 de alto, y una horizontal de 4 de ancho y 230 de alto queda libre un cuadrado de 4x4, $2106-4*4=2090$ que es la mínima cantidad
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
Me parece que en realidad la rta es 420, checken el razonamiento que en sí esta bien, y traten de buscar alguna otra distribución para poner más rectangulos de 1x5. Conclusión: La respuesta esta entre 418, 421
Vamos a dar por entendido que los cuadrados de 3x3 cubren completamente al rectángulo, para así tener la menor cantidad disponible de espacios para poner los rectángulos de 1x5.
La cantidad de espacios de 1x1 es: 234.3.3=2106, por lo que en el hipotético caso que el rectángulo tenga un área de 2106x1, la cantidad máxima de rectángulos sería 2105/5=421, y nos sobra uno de 1x1.
Sin embargo el problema nos pide que estemos seguros que vamos a poder poner esa cantidad máxima, para poder estar seguros lo que vamos a hacer es encontrar un rectángulo que tenga resto 4 en la división por 5 en un lado:
En el caso de un rectángulo de 54.39, el lado 54 tiene resto 4 con la división por 5, sabiendo esto, al momento de rellenar con los rectángulos lo que vamos a hacer es poner 50/5 * 39 rectangulos horizontales, dejando así un espacio de 4x39 sin completar. La única forma de llenar este espacio va a ser con rectángulos parados, completando llegamos a que con 418 rectángulos nos aseguramos siempre de ganar.
