17° Ronda Final Mateclubes P1N3

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Martín Vacas Vignolo
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17° Ronda Final Mateclubes P1N3

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Mar 02 Dic, 2014 1:47 am

Ana tiene que completar los círculos de la figura.
4.png
Escribe números enteros positivos distintos, uno en cada círculo, de manera tal que los resultados de la multiplicación de los tres números de cada lado del cuadrado
sean todos iguales.
Juan dice el número más grande que escribió Ana en la figura y Ana tiene que darle esa cantidad de caramelos a Juan.
Si Ana quiere darle a Juan la menor cantidad posible de caramelos, ¿cómo puede completar la figura? ¿Cuántos caramelos tiene que darle? ¿Por qué no puede
completarlo de manera que le dé menos?
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Dauphineg

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Re: 17° Ronda Final Mateclubes P1N3

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 04 Jul, 2020 8:06 pm

Spoiler: mostrar
Llamamos $A,B,C,D$ a los círculos en los vértices del cuadrado de la figura y llamamos $E,F,G,H$ círculos en los puntos medios de los lados $DA,AB,BC,CD$ respectivamente. Llamamos $P$ al producto de los $3$ números de cada lado y llamamos $M$ a la respuesta que buscamos, es decir a la menor cantidad de caramelos que tendrá que darle Ana a Juan. Claramente $M\geq 8$ porque son $8$ números naturales distintos a colocar.
$M$ no puede ser $8$ porque de ser así los números colocados serian todos entre $1$ y $8$, pero en ese caso deberíamos colocar el $7$ haciendo que $P= \dot{7}$ y entonces sobre el lado opuesto al que colocamos el $7$ deberíamos colocar otro múltiplo de $7$ y esto no es posible. Notar que idéntico problema tendíamos con el numero $5$
$M$ no puede ser $9$ porque de ser así como vimos recién no se podría tener ni al $7$ ni al $5$ en el conjunto de $8$ , o sea que solo dispondríamos de $7$ números y no nos alcanza
Si $M$ fuese $10$ entonces el número $7$ no podría formar parte de los $8$ por lo ya explicado, como $P= \dot{10}$, si de una lado colocamos el $10$ del lado opuesto necesitaremos colocar un $\dot{5}$ y el único que hay menor a $10$ es el $5$. Pero veremos que el número $9$ no puede formar parte de los $8$, para ellos supongamos que el número $9$ forma parte de los $8$
Si esta ubicado en un vértice, por ejemplo en el circulo $A$ entonces como $H.C=E.A=\dot{9}$ $\Rightarrow H=\dot{3}$ y también $C=\dot{3}$ dado que no hay mas $\dot{9}$, mediante análogo razonamiento se llega a que $G=\dot{3}$ pero entonces necesitamos tres $\dot{3}$ y solo disponemos de dos, el $3$ y del $6$
Si dicho $9$ estuviese ubicado en un circulo de punto medio de lado, por ejemplo en el $E$ entonces la situación es peor ya que esto obligaría por análogos razonamientos a los que hicimos a que $F=\dot{3},B=\dot{3},H=\dot{3},C=\dot{3}$ pero nuevamente seria imposible porque necesitariamos cuatro $\dot{3}$. Concluimos que el $9$ no puede estar, o sea que estarían todos del $1$ al $10$ excepto el $7$ y el $9$, pero veremos que tampoco esto es posible.
Los $\dot{3}$ ya sea el $3$ o el $6$ no podrán estar en círculos de punto medio de lado, ya que por ejemplo su el $3$ estuviese en $E$ obligaría a que $F=\dot{3}$ o $B=\dot{3}$ pero ademas $H=\dot{3}$ o $C=\dot{3}$ y necesitaríamos dos $\dot{3}$, pero contaríamos con uno solo dado que el otro esta en $E$. Tampoco ambos $\dot{3}$ pueden estar en círculos de vértices consecutivos porque con esto haríamos que $P=\dot{9}$ y de lado opuesto al que colocamos los dos $\dot{3}$ no tendríamos ningún otro $\dot{3}$ para poner. Esto nos dice que los $\dot{3}$ deberán ir en las esquinas opuestas
Razonado igual para los números $5$ y $10$ llegamos a que estos deberán ir en esquinas opuestas si o si, o sea en las otras dos esquinas de no están $3$ ni $6$, si hacemos esto veremos que sobre un lado quedaran los números $10$ y $3$ y del lado contrario quedaran el $6$ y el $5$, todos en esquinas! pero $10.3=30=6.5$ luego los números colocados en los círculos de los puntos medios de dichos lados serán iguales, absurdo!
Concluimos que $M$ no puede ser $10$, tampoco podrá ser $M=11$ ya que en ese caso obligaría a que $P=\dot{11}$ y del lado contrario al que se colocó el $11$ deberíamos tener otro $\dot{11}$ que seria mayor que $11$ contradiciendo que $M=11$
Por último veremos un ejemplo que confirma que $M=12$
$A=10,B=4,C=5,D=12,E=1,F=3,G=6,H=2$ y tiene Ana que darle $12$ caramelos a Juan



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