Nacional 2015 N1 P5

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Matías V5

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Nacional 2015 N1 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 11 Dic, 2015 3:32 pm

Diremos que un número natural es de tipo $1$ si cada uno de sus dígitos en posición par es mayor o igual que cada uno de sus dígitos adyacentes, y diremos que un número natural es de tipo $2$ si cada uno de sus dígitos en posición impar es mayor o igual que cada uno de sus dígitos adyacentes. Las posiciones se cuentan de izquierda a derecha; no se permiten ceros a la izquierda (el primer dígito no es cero). Los números de un dígito se consideran de tipo $1$ y de tipo $2$ simultáneamente. Decidir si es cierto que:
a) Cada número $a>1$ de tipo $1$ se puede representar como suma de dos números de tipo $2$.
b) Cada número $a>1$ de tipo $2$ se puede representar como suma de dos números de tipo $1$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

BrunZo

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Re: Nacional 2015 N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 26 Dic, 2019 1:30 pm

Parte a):
Spoiler: mostrar
Escribamos $A=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5\dots}=\overline{a_10a_30a_5\dots}+\overline{a_20a_40\dots}$. Notemos que ambos sumandos son de tipo 2 ya que todos los dígitos en posición par son $0$.
Parte b):
Spoiler: mostrar
Tomemos $A=109=x+y$ donde $x$ e $y$ son de tipo 1.
Como ni $100$, ni $101$, ni $102$,..., ni $108$ son de tipo 1, entonces $x,y<100$, con lo que $x,y>9$. Entonces, $x$ e $y$ tienen ambos dos dígitos, digamos $x=\overline{ab}$ e $y=\overline{cd}$ con $b\geq a$ y $d\geq c$ (esto último debido a que son de tipo 1).
Queda claro que $b+d<19$ (puesto que $b,d\leq 9$), con lo que necesariamente $b+d=9$. Por lo tanto, $a+c=10$. Pero sumando las dos desigualdades que teníamos, obtenemos $b+d\geq a+c$, o sea, $9\geq 10$, lo cual es absurdo. Esto demuestra que no existen tales $x$ e $y$, por lo que esta parte es falsa.

PD: Tampoco es posible hallar estas sumas para $1099$, $10999$, $109999$, etc. Para cualquier otro número parecen existir tales sumas (no demostado).

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