Nacional 2015 N1 P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 12 Dic, 2015 9:07 pm

Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar [math] fichas de [math] como las de la figura en un cuadrado cuadriculado [math] de modo que no tengan puntos en común, ni siquiera vértices." Sin saber las dimensiones de [math], Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar [math] fichas de [math] en tu cuadrado, en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.
ACLARACIÓN: Cada ficha cubre exactamente [math] casillas del cuadrado [math]. Las fichas se pueden girar.
[math]
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

usuario250

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Re: Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por usuario250 » Sab 12 Dic, 2015 11:30 pm

Sale con el típico truco para estos casos.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 06 Ago, 2018 2:57 pm

Spoiler: mostrar
Como las fichas no se pueden tocar, vamos a pensar cada ficha viendo los vértices que ocupa en vez de las casillas (si no se tocan, no puede haber dos fichas sobre un mismo vértice) y vamos a pensar el tablero $Q$ de $n\times n$ como un tablero $Q'$ de $(n+1)\times (n+1)$ formado por los vértices de $Q$ (es decir, los vértices son las casillas). El nuevo enunciado del problema es:
Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar $1226$ fichas de $2\times 4$ como las de la figura en un cuadrado cuadriculado $Q'$ de forma que no se superpongan." Sin saber las dimensiones de $Q'$, Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en tu cuadrado en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\; & \; & \; & \; \\ \hline
\; & \; & \; & \; \\ \hline
\end{array}$


Veamos que es verdad lo que dice Facundo.
Como las fichas no se superponen ni se salen del tablero, entonces el tablero tiene al menos $1226\times 8=9808$ casillas. Ahora, un tablero cuadrado de lado $k$ tiene $x=k^2$ casillas, o lo que es lo mismo, un tablero con $x$ casillas tiene lado $k=\sqrt{k^2}=\sqrt{x}$. Como $\sqrt{9808}\approx 99,04$, si el lado de $Q'$ midiese como mucho $99$, no nos entrarían las fichas, ya que $99^2=9801$, entonces el lado de $Q'$ mide al menos $100$, es decir que $Q'$ tiene al menos $100\times 100=10000$ casillas. Veamos con un ejemplo que podemos ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en un tablero de $100\times 100$ (si el tablero tiene dimensiones mayores, nos alcanza con agarrar un subtablero de $100\times 100$ y llenarlo con fichas de la misma forma). Separamos las columnas en grupitos de $4$ columnas consecutivas, y separamos las filas en grupitos de $2$ filas consecutivas (esto puede hacerse porque $100$ es múltiplo de $4$, y por lo tanto también es múltiplo de $2$) marcando una línea roja para separar los grupos; si miramos el tablero formado por líneas rojas, cada casilla es de $2\times 4$, en cada fila hay $\frac{100}{4}=25$ casillas y en cada columna hay $\frac{100}{2}=50$ casillas; entonces en total hay $25\times 50=1250$ casillas, y en cada una de ellas podemos poner una ficha de $2\times 4$. Por lo tanto, se puede hacer lo que dice Facundo para un tablero de $100\times 100$, y por lo tanto para cualquier tablero de mayor tamaño. Pero habíamos visto que si lo que dice Bruno es cierto entonces el tablero tiene que ser al menos de $100\times 100$. Concluimos que Facundo dice la verdad.
[math]

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