Alrededor de una circunferencia hay marcadas [math]2016 posiciones, con una ficha en una de ellas. Una movida legítima es mover la ficha o bien a 1 posición o bien a 4 posiciones desde su ubicación, en el sentido de las agujas del reloj. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más de una vez. Los jugadores [math]A y [math]B se turnan en hacer movidas. [math]A es el que mueve primero. El jugador que no puede hacer su movida pierde. Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Supongamos sin pérdida de generalidad que la ficha está inicialmente en la posición [math]2016. Cuando un jugador avanza [math]1 posición, diremos que hizo una movida del tipo [math]1, de lo contrario hará una movida del tipo [math]2. Diremos que la posición [math]x está gastada, si la ficha estuvo en la posición [math]x (en algún momento).
Gana [math]A. En efecto, [math]A empieza haciendo una movida del tipo [math]2, es decir, pone la ficha en la posición [math]4. Luego, a partir de ese momento, sin importar como juegue [math]B, la estrategia del jugador [math]A es hacer lo contrario de [math]B, es decir, el jugador [math]A moverá la ficha [math]5 posiciones, con respecto a su jugada anterior. De ese modo se garantiza que [math]A pone la ficha en la posición [math]2014 (su última jugada de la primera ronda, es decir, su última jugada antes que la ficha de una vuelta). Luego, continuando con la estrategia, en la segunda ronda [math]A juega por primera vez colocando la ficha en la posición [math]3:
y esto garantiza que en su última jugada de la segunda ronda, [math]A pone su ficha en la posición [math]2013. Luego, [math]A por primera vez, en la tercera ronda, pone la ficha en la posición [math]2. Así, se garantiza que [math]A, juega por última vez en la tercera ronda colocando su ficha en la posición [math]2012. Todo esto está ocurriendo suponiendo que [math]B juega correctamente, es decir, que [math]B no haya perdido antes. Ahora, [math]B no puede realizar una movida del tipo [math]1, pues [math]2013 es una posición gastada, pero tampoco puede realizar una movida del tipo [math]2, pues [math]2016 también es una posición gastada.
Por lo tanto, [math]B pierde y [math]A tiene la estrategia ganadora.
Cuando A "coloca" la ficha en la posición 2, la posición 2 puede estar gastada. Esto es, cuando A, previamente, puso la ficha en la posición 3, puede haber pasado que en el movimiento anterior B haya puesto la ficha en la posición 2, por lo que gastó dicha posición.
Supongamos sin pérdida de generalidad que la ficha está inicialmente en la posición [math]2016. Cuando un jugador avanza [math]1 posición, diremos que hizo una movida del tipo [math]1, de lo contrario hará una movida del tipo [math]2. Diremos que la posición [math]x está gastada, si la ficha estuvo en la posición [math]x (en algún momento).
Gana [math]A. En efecto, [math]A empieza haciendo una movida del tipo [math]2, es decir, pone la ficha en la posición [math]4. Luego, a partir de ese momento, sin importar como juegue [math]B, la estrategia del jugador [math]A es hacer lo contrario de [math]B, es decir, el jugador [math]A moverá la ficha [math]5 posiciones, con respecto a su jugada anterior. De ese modo se garantiza que [math]A pone la ficha en la posición [math]2014 (su última jugada de la primera ronda, es decir, su última jugada antes que la ficha de una vuelta). Luego, continuando con la estrategia, en la segunda ronda [math]A juega por primera vez colocando la ficha en la posición [math]3:
y esto garantiza que en su última jugada de la segunda ronda, [math]A pone su ficha en la posición [math]2013. Luego, [math]A por primera vez, en la tercera ronda, pone la ficha en la posición [math]2. Así, se garantiza que [math]A, juega por última vez en la tercera ronda colocando su ficha en la posición [math]2012. Todo esto está ocurriendo suponiendo que [math]B juega correctamente, es decir, que [math]B no haya perdido antes. Ahora, [math]B no puede realizar una movida del tipo [math]1, pues [math]2013 es una posición gastada, pero tampoco puede realizar una movida del tipo [math]2, pues [math]2016 también es una posición gastada.
Por lo tanto, [math]B pierde y [math]A tiene la estrategia ganadora.
[math]A tiene una estrategia ganadora. Numeremos las posiciones de 1 a 2016, con la ficha inicialmente en 1. [math]A comienza por mover la ficha de 1 a 2. Ahora, mientras [math]B avance 4 posiciones, sin llegar a 2016, [math]A avanza una. Así se van gastando las posiciones congruentes con 1 ó 2 módulo 5. Supongamos que luego de gastar [math]5k+1 y [math]5k+2 (con [math]5k+2\leq 2012), [math]B decide avanzar sólo una posición a [math]5k+3. Entonces [math]A mueve a [math]5k+4, y en lo sucesivo si [math]B avanza [math]x, [math]A avanza [math]5-x (llamemos a este procedimiento "alternar"). De este modo [math]A llegará a 2014, [math]B sólo podrá mover a 2015, [math]A mueve a 3, y continúa alternando (lo cual siempre será posible pues moverá a posiciones [math]5j+3, que están libres) hasta llegar a [math]5k-2. Ahora [math]B sólo puede mover a [math]5k-1, [math]A mueve a [math]5k y gana pues las 4 posiciones siguientes están gastadas.
Supongamos en cambio que en la primera vuelta [math]B avance siempre de a 4 hasta llegar a 2016. Entonces [math]A mueve a la posición 4, y continúa alternando hasta llegar a 2014. Ahora [math]B sólo podrá mover a 2015, [math]A mueve a 3 y gana, pues tanto la posición 4 como la 7 están gasradas.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.