Nacional 2016 N2 P4

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Fran5

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Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 13 Nov, 2016 8:25 pm

Se tiene un tablero con [math] filas y [math] columnas. Cada casilla del tablero contiene un [math] o un [math]. El tablero tiene las siguientes propiedades:.
  • Cada dos filas son distintas
  • Cada fila contiene exactamente [math] casillas con [math]
  • Para cada [math] filas hay una columna que las interseca en [math] casillas con [math]
Hallar el mayor [math] para el que existe un tablero con estas propiedades.
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Prillo

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Re: Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por Prillo » Lun 12 Dic, 2016 8:58 pm

Spoiler: mostrar
Equivalentemente: hallar la maxima cantidad de subconjuntos de [math] de [math] elementos tales que la union de cada tres de ellos nunca sea [math].

Si elegimos los [math] subconjuntos de [math] elementos de [math] es claro que cumplen la condicion del enunciado.

Veamos ahora que si se elige mas de [math] subconjuntos, habra tres cuya union sea [math]. Notemos que la cantidad de subconjuntos de [math] de [math] elementos es [math]. Consideremos todas las ternas (no ordenadas) [math] de subconjuntos de [math] de [math] elementos tales que [math]. La cantidad de tales ternas es [math]. Sumando sobre todas estas ternas la cantidad de sus elementos que son subconjuntos elegidos, nos da a lo sumo [math], pues para cada terna a lo sumo [math] de sus elementos pueden ser subconjuntos elegidos y hay [math] ternas. Por otra parte, cada subconjunto de [math] de [math] elementos aparece en la misma cantidad de ternas [math], entonces cada uno de los subconjuntos elegidos contribuye en exactamente [math] a esta suma. Como elegimos mas de [math] subconjuntos, la suma calculada de esta otra manera nos da mayor a [math]. Pero es facil ver que [math], entonces tenemos una contradiccion.

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NPCPepe

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Re: Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por NPCPepe » Jue 24 Oct, 2019 4:08 pm

prillo mira que dice cada DOS filas son distintas, osea yo entendi que si agarras dos filas y otras dos filas y las comparas son distintas, pero podes tener como maximo 3 filas iguales osea al numero combinatorio ese hay que sumarle 2 y da 332

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