Nacional 2016 N2 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Fran5

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Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Se tiene un tablero con $n$ filas y $12$ columnas. Cada casilla del tablero contiene un $1$ o un $0$. El tablero tiene las siguientes propiedades:
  1. Cada dos filas son distintas
  2. Cada fila contiene exactamente $4$ casillas con $1$
  3. Para cada $3$ filas hay una columna que las interseca en $3$ casillas con $0$
Hallar el mayor $n$ para el que existe un tablero con estas propiedades.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Prillo

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Re: Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por Prillo »

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Equivalentemente: hallar la maxima cantidad de subconjuntos de [math] de [math] elementos tales que la union de cada tres de ellos nunca sea [math].

Si elegimos los [math] subconjuntos de [math] elementos de [math] es claro que cumplen la condicion del enunciado.

Veamos ahora que si se elige mas de [math] subconjuntos, habra tres cuya union sea [math]. Notemos que la cantidad de subconjuntos de [math] de [math] elementos es [math]. Consideremos todas las ternas (no ordenadas) [math] de subconjuntos de [math] de [math] elementos tales que [math]. La cantidad de tales ternas es [math]. Sumando sobre todas estas ternas la cantidad de sus elementos que son subconjuntos elegidos, nos da a lo sumo [math], pues para cada terna a lo sumo [math] de sus elementos pueden ser subconjuntos elegidos y hay [math] ternas. Por otra parte, cada subconjunto de [math] de [math] elementos aparece en la misma cantidad de ternas [math], entonces cada uno de los subconjuntos elegidos contribuye en exactamente [math] a esta suma. Como elegimos mas de [math] subconjuntos, la suma calculada de esta otra manera nos da mayor a [math]. Pero es facil ver que [math], entonces tenemos una contradiccion.
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NPCPepe

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Re: Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por NPCPepe »

prillo mira que dice cada DOS filas son distintas, osea yo entendi que si agarras dos filas y otras dos filas y las comparas son distintas, pero podes tener como maximo 3 filas iguales osea al numero combinatorio ese hay que sumarle 2 y da
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$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2016 N2 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

NPCPepe escribió: Jue 24 Oct, 2019 4:08 pm prillo mira que dice cada DOS filas son distintas, osea yo entendi que si agarras dos filas y otras dos filas y las comparas son distintas, pero podes tener como maximo 3 filas iguales osea al numero combinatorio ese hay que sumarle 2 y da
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La condición "cada dos filas son distintas" quiere decir que no hay dos filas iguales (es una manera un poco rebuscada de decirlo), el resultado del problema es el que puso Prillo.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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