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Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 30 Ene, 2017 2:04 am
por Dauphineg
Se marcan los $27$ puntos $(a,b,c)$ del espacio tales que $a$, $b$ y $c$ toman los valores $0$, $1$ ó $2$. A estos puntos los llamaremos "coyunturas".
Utilizando $54$ varillas de longitud $1$ se unen entre sí todas las coyunturas que están a distancia $1$. Queda así formada una estructura cúbica de $2\times 2\times 2$. Una hormiga parte de una coyuntura $A$ y avanza a lo largo de las varillas; cuando llega a una coyuntura gira $90º$ y cambia de varilla.
Si la hormiga regresa a $A$ y no ha visitado más de una vez ninguna coyuntura excepto $A$, a la que visitó $2$ veces, al iniciar el paseo y al finalizarlo, ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga?

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 7:19 pm
por Gianni De Rico
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Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener [math] vértices, tendrá [math] aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es [math].

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 7:50 pm
por tuvie
Gianni De Rico escribió:
Spoiler: mostrar
Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener [math] vértices, tendrá [math] aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es [math].
Esta bien, y ¿como obtenemos eso?

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 8:18 pm
por Gianni De Rico
tuvie escribió:
Gianni De Rico escribió:
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Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener $27$ vértices, tendrá $27$ aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es $27$.
Esta bien, y ¿como obtenemos eso?
Uh. Entendí cualquiera.

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 11:32 am
por Martín Vacas Vignolo
Gianni De Rico escribió: recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo
El grafo no es completo, sólo se unen los puntos que están a distancia 1, no todos con todos

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 12:12 pm
por Gianni De Rico
Martín Vacas Vignolo escribió:
Gianni De Rico escribió: recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo
El grafo no es completo, sólo se unen los puntos que están a distancia 1, no todos con todos
No me refería a eso, tendría que haber puesto "el grafo en su totalidad" o "sobre todo el grafo". Pasa que ahora tampoco estoy seguro de si se puede interpretar que se existe un CH sobre todo el grafo (en ese caso el problema es trivial) o si la idea era encontrar el mayor subgrafo tal que contenga un CH, que sería un problema bastante interesante.

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 2:04 pm
por tuvie
Asi de una no es trivial la relacion del problema con un grafo. Que el vertice [math] se conecte con [math] y [math] se conecte con [math] no quiere decir que se pueda hacer [math].

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mié 17 Jun, 2020 1:07 pm
por Gabriel Bernal
Lo edité varias veces pero ahora sí.
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Es claro que la hormiga recorrerá como mucho $27$ varillas. Ahora dividamos la estructura en tres pisos de $9$ coyunturas (cada uno con coordenadas $(a,b,0)$; $(a,b,1)$; $(a,b,2)$) y al resto de varillas llamémoslas columnas. Por un lado la cantidad de columnas es par porque la hormiga debe volver siempre al piso de donde salió (cada vez que sale del piso donde está debe volver a él en algún momento). Por otro lado, veamos que hay $2$ varillas por coyuntura, por ende en cada piso habrá algunas coyunturas con una sola varilla en el piso y otra que es una columna, pero habrá una cantidad par de coyunturas que cumplan esto y en el caso que no sea así habrá $2$ varillas en el piso, en definitiva hay una cantidad para de varillas en cada piso. Sumando ambas varillas tenemos que la hormiga recorrió una cantidad par por lo que descartamos los casos impares.
Por otro lado veamos el cubo grande (el de $2x2x2$). Éste tiene $8$ vértices y $12$ aristas, cada una de ellas con su coyuntura. Cada vértice requiere $2$ varillas (simplemente porque pasa la hormiga) y ambas deben estar unidas a aristas (no hay otra conexión). Una arista está unida a dos caras del cubos y a dos vértices mediante un recorrido recto, pero esto está prohibido por la consigna, luego debe haber $12$ varillas asignadas a vértices que cubren como mucho $6$ vértices y $2$ quedan afuera del recorrido de la hormiga. Acá hay que contemplar el detalle de que la hormiga al llegar al punto donde inició puede hacer un recorrido recto, si es así habría $13$ varillas asignadas a vértices que cubren como mucho $6$ vértices. Esto hace que haya como mucho $25$ coyunturas en el recorrido de la hormiga.
Viendo la cota de $25$ y que para los impares no se puede, la cota es $24$. Acá un ejemplo (el punto rojo es donde empieza y termina la hormiga):
Captura.PNG
Al final, la mayor longitud que pudo tener el recorrido es $24$.