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Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 30 Ene, 2017 2:04 am
por Dauphineg
Se marcan los 27 puntos [math] del espacio tales que [math], [math] y [math] toman los valores 0, 1 o 2. A estos puntos los llamaremos "coyunturas".
Utilizando 54 varillas de longitud 1 se unen entre sí todas las coyunturas que están a distancia 1. Queda así formada una estructura cúbica de 2x2x2. Una hormiga parte de una coyuntura A y avanza a lo largo de las varillas; cuando llega a una coyuntura gira 90º y cambia de varilla.
Si la hormiga regresa a A y no ha visitado más de una vez ninguna coyuntura excepto A, a la que visitó 2 veces, al iniciar el paseo y al finalizarlo, ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga?

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 7:19 pm
por Gianni De Rico
Spoiler: mostrar
Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener [math] vértices, tendrá [math] aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es [math].

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 7:50 pm
por tuvie
Gianni De Rico escribió:
Spoiler: mostrar
Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener [math] vértices, tendrá [math] aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es [math].
Esta bien, y ¿como obtenemos eso?

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Lun 29 May, 2017 8:18 pm
por Gianni De Rico
tuvie escribió:
Gianni De Rico escribió:
Spoiler: mostrar
Armamos el grafo, con las coyunturas como vértices y las varillas como aristas, lo que nos pide el problema es encontrar un Ciclo Hamiltoniano, por lo que el problema es muy sencillo, ya que un Ciclo Hamiltoniano tiene exactamente la misma cantidad de aristas que de vértices, por lo que la mayor longitud se obtiene cuando recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo, al tener [math] vértices, tendrá [math] aristas y por lo tanto la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga es [math].
Esta bien, y ¿como obtenemos eso?
Uh. Entendí cualquiera, estoy medio perdido últimamente.

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 11:32 am
por Martín Vacas Vignolo
Gianni De Rico escribió: recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo
El grafo no es completo, sólo se unen los puntos que están a distancia 1, no todos con todos

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 12:12 pm
por Gianni De Rico
Martín Vacas Vignolo escribió:
Gianni De Rico escribió: recorre un Ciclo Hamiltoniano sobre el grafo completo
El grafo no es completo, sólo se unen los puntos que están a distancia 1, no todos con todos
No me refería a eso, tendría que haber puesto "el grafo en su totalidad" o "sobre todo el grafo". Pasa que ahora tampoco estoy seguro de si se puede interpretar que se existe un CH sobre todo el grafo (en ese caso el problema es trivial) o si la idea era encontrar el mayor subgrafo tal que contenga un CH, que sería un problema bastante interesante.

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Publicado: Mar 30 May, 2017 2:04 pm
por tuvie
Asi de una no es trivial la relacion del problema con un grafo. Que el vertice [math] se conecte con [math] y [math] se conecte con [math] no quiere decir que se pueda hacer [math].