P1 Nivel Juvenil Segundo Pretorneo de las ciudades 2011

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jonyayala_95
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P1 Nivel Juvenil Segundo Pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Mar 14 Jun, 2011 2:40 pm

Alrededor de una circunferencia estan escritos los números enteros desde [math] hasta [math] de manera que si recorremos la circunferencia en sentido horario los números crecen y decrecen alternadamente. ¿Puede ocurrir que todas las diferencias entre dos números consecutivos de la circunferencia sean impares? Si la respuesta es sí, dar un ejemplo de tal distribución; si la respuesta es no, explicar el porqué.

sebach

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Re: P1 Nivel Juvenil Segundo Pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por sebach » Mar 14 Jun, 2011 11:33 pm

Supongamos que puedo cumplir con lo pedido:
Tenemos el 1. Luego, voy a tener un número par mayor a 1. Si fuera 2, luego tengo que tener un número menor que 2 impar, distinto de 1, lo que es imposible. Entonces este número par debe ser mayor que 2.
Luego, debo tener un número impar menor que el anterior. Luego un par mayor, y así sucesivamente, tal que cuando tengo un número par, el anterior es menor; y cuando tengo un número impar, el anterior es mayor.
Pero entonces, donde tenga el 2, el anterior debe ser menor, pero el único número entero positivo menor que 2 es el 1, y ya demostré antes que el 1 y el 2 no pueden estar seguidos.
ABSURDO POR SUPONER QUE SE PUEDE CUMPLIR CON LO PEDIDO, entonces la respuesta es NO.
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LorenzoRD
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Re: P1 Nivel Juvenil Segundo Pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Mié 08 Ene, 2020 9:20 pm

Es evidente que 1 es el menor número escrito alrededor de la circunferencia. Sea N la posición en la que está el 1, y supongamos que todas las diferencias son impares.

Los números de las posiciones N + 1 y N - 1 son pares, y mayores que 1. Los números de las posiciones N + 2 y N - 2 son impares, y menores que los números de las posiciones N + 1 y N - 1, respectivamente.

Vemos que este patrón continúa, y que todo número impar está entre medio de 2 números pares mayores que él, o lo que es lo mismo, todo número para está entre medio de dos números impares menores que él.

Concluimos así que ni el 2 ni el 2009 pueden colocarse en la circunferencia, ya que no hay dos pares mayores que 2009 (solo el 2010) ni dos impares menores que 2 (solo el 1), lo que hace falsa la hipótesis de que todas las diferencias entre dos números consecutivos de la circunferencia sean impares.

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