Regional 2017 N3 P2

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Matías V5

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Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:24 pm

En cada casilla de un tablero rectangular hay escrito un número entero. Las operaciones permitidas son:
  • Elegir una casilla en cada una de las filas y sumar [math] a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
  • Elegir una casilla en cada una de las columnas y restar [math] a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
Decidir si es posible, cualesquiera sean los números iniciales y mediante una cantidad finita de operaciones permitidas, obtener un tablero con todos ceros si las dimensiones del tablero son:
  • a) [math]
    b) [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:21 pm

a)
Spoiler: mostrar
Sea [math] la suma de los números del tablero, después de cada paso tenemos [math] o [math] (dependiendo de cómo miremos el tablero), sumamos en uno y restamos en el otro. Pero [math] y [math], luego la congruencia de la suma del tablero es invariante módulo [math]. Un tablero con todos ceros tiene suma [math], por lo tanto el objetivo sólo se puede lograr si la suma de los números del tablero es [math]. Es decir no puede lograrse para cualquier caso.
b)
Spoiler: mostrar
Un tablero de [math] tiene [math] filas y [math] columnas. Voy a mostrar un método con el que se puede llevar a cero todas las casillas del tablero sin importar sus valores originales.

Paso [math]: Seleccionamos los [math] números de la primera fila (uno por cada columna) y les restamos [math], realizamos esto hasta que todos los números de la fila sean negativos. Repetimos con cada una de las filas. De esta forma, todos los números del tablero son negativos.

Paso [math]:Seleccionamos [math] números en filas distintas y les restamos [math], luego seleccionamos [math] números en otras [math] filas distintas y les restamos [math] (hasta ahora le restamos [math] a [math] números en [math] filas distintas), por últimos seleccionamos esos mismos [math] números y un número más ([math] en total) y les sumamos [math]. Como a [math] de esos números les restamos y sumamos [math], se mantienen iguales que antes, y pudimos aumentar el otro número en [math], repitiendo este proceso el número llegará a [math] en una cantidad finita de veces. Por lo tanto, podemos llevar a [math] cualquier número que queramos sin modificar los demás. Luego, podemos llevar a [math] todos los números del tablero.


El procedimiento para un tablero de [math] filas y [math] columnas es análogo.


Por lo tanto puede lograrse para cualquier caso.
2  
[math]

sfreghy
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Re: Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por sfreghy » Jue 07 Sep, 2017 8:38 pm

buena
1  

Peznerd
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Re: Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Mié 04 Sep, 2019 8:52 pm

Gianni De Rico escribió:
Mié 06 Sep, 2017 7:21 pm
a)
Spoiler: mostrar
Sea $S$ la suma de los números del tablero, después de cada paso tenemos $S\pm 15$ o $S\pm 20$ (dependiendo de cómo miremos el tablero), sumamos en uno y restamos en el otro. Pero $S\pm 15\equiv S(5)$ y $S\pm 20\equiv S(5)$, luego la congruencia de la suma del tablero es invariante módulo $5$. Un tablero con todos ceros tiene suma $S=0\equiv 0(5)$, por lo tanto el objetivo sólo se puede lograr si la suma de los números del tablero es $S\equiv 0(5)$. Es decir no puede lograrse para cualquier caso.
b)
Spoiler: mostrar
Un tablero de $5\times 11$ tiene $11$ filas y $5$ columnas. Voy a mostrar un método con el que se puede llevar a cero todas las casillas del tablero sin importar sus valores originales.

Paso $1$: Seleccionamos los $5$ números de la primera fila (uno por cada columna) y les restamos $1$, realizamos esto hasta que todos los números de la fila sean negativos. Repetimos con cada una de las filas. De esta forma, todos los números del tablero son negativos.

Paso $2$:Seleccionamos $5$ números en filas distintas y les restamos $1$, luego seleccionamos $5$ números en otras $5$ filas distintas y les restamos $1$ (hasta ahora le restamos $1$ a $10$ números en $10$ filas distintas), por últimos seleccionamos esos mismos $10$ números y un número más ($11$ en total) y les sumamos $1$. Como a $10$ de esos números les restamos y sumamos $1$, se mantienen iguales que antes, y pudimos aumentar el otro número en $1$, repitiendo este proceso el número llegará a $0$ en una cantidad finita de veces. Por lo tanto, podemos llevar a $0$ cualquier número que queramos sin modificar los demás. Luego, podemos llevar a $0$ todos los números del tablero.


El procedimiento para un tablero de $5$ filas y $11$ columnas es análogo.


Por lo tanto puede lograrse para cualquier caso.
Buena explicación, en dos horas que me tomé lo hice de formala un pelín distinta con congruencias, fichas de colores y promedios :)

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