Nacional 2017 N1 P1

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Gianni De Rico

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Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Un rectángulo, que no es un cuadrado, y que está cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$ se divide en exactamente $8$ figuras poligonales distintas siguiendo líneas de la cuadrícula. Determinar cuál es el menor valor posible del área del rectángulo inicial.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

bruno
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Re: Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por bruno »

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Las figuras $8$ figuras poligonales, al querer minimizar el area del rectangulo, deben tener la menor cantidad posible de cuadraditos. Luego clasifico las distintas figuras poligonales segun la cantidad de cuadraditos que la forman (entendiendo que si una figura es igual a otra si la puedo obtener a partir de una rotacion de la primera).

- De $1$ cuadradito : Imagen

- De $2$ cuadraditos: Imagen

- De $3$ cuadraditos: Imagen Imagen

- De $4$ cuadraditos: Imagen Imagen Imagen Imagen

Tengo ya $8$ figuras distintas con el minimo numero de cuadraditos, por lo tanto el minimo numero de cuadraditos que tendria el rectangulo seria

$1+2+2 \times 3+ 4 \times 4=25$

Si el rectangulo tiene $25$ cuadraditos entonces solo puede ser de $1 \times 25$ o de $5 \times 5$. La primera opcion no sirve pues por la forma de las figuras, el rectangulo debe tener mas de una fila y mas de una columna. La segunda opcion tampoco sirve pues es un cuadrado.

Entonces el minimo numero de cuadraditos pasaria a ser $26$, para el cual si se puede conseguir lo pedido. Por ejemplo Imagen


Por lo tanto la minima area del rectangulo es $26$
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Otra forma de justificar que con $1\times 25$ no se puede es que todas las fichas tendrían que ser de $1\times k$, con $1\le k\le 8$, y todos de distinto largo, ya que deben ser distintas. Por lo tanto el área mínima sería $1+2+3+4+5+6+7+8=36$
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Laureano U

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Re: Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por Laureano U »

Yo entendí que las figuras son distintas incluso si rotandose se convierten en la misma y me dio que:
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para 1 cuadradito hay una posibilidad ($1*1$), para 2 cuadraditos dos, que son la que ya mostraron y su rotación es decir ($2*1$ y $1*2$, por decirlo de alguna manera). Luego, para 3 cuadraditos, tenemos la opción de $3*1$ que son 2 posibilidades (ya que se puede rotar de dos maneras), y luego la "L" que tiene 4 posibles rotaciones (c/u la podemos pensar como un cuadrado sin una ficha, por lo que cada rotación depende de que ficha quitemos). Entonces, veremos que ya nos alcanza para 8 figuras diferentes, entonces si sumamos $1$ (área de 1 cuadradito), $4$ (las dos áreas de las de 2 cuadraditos) y $15$ (lo restante de 3 cuadraditos) vemos que suma 20, y como voy a mostrar en el ejemplo, es posible, de modo que con eso pruebo que el menor valor posible del área del rectángulo inicial es $20$.
Ejemplo:
1) Nacional 2017.PNG
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