En cada cara de un cubo hay escrito un número entero positivo. A cada vértice del cubo se le asignó la multiplicación de los números de las tres caras que tienen ese vértice en común. La suma de los $8$ números asignados a los vértices es $315$. Determinar la suma de los números de las caras (dar todas las posibilidades).
Sean $a_1$ y $a_2$; $b_1$ y $b_2$; $c_1$ y $c_2$ las caras opuestas entonces
\begin{align*}
315&=a_1b_1c_1+ a_1b_1c_2+ a_1b_2c_1+ a_1b_1c_2+ a_2b_1c_1+ a_2b_1c_2+ a_2b_2c_1+ a_2b_1c_2\\
&=(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2),
\end{align*} entonces hay que descomponer $315$ en tres factores mayores que $1$
Siendo $a, b, c, d, e$ y $f$ los números en cada cara del cubo de forma que $abe+abc+acd+ade+ebf+bfc+efd+fcd=315$
sacando factor común se llega a que $(a+f)(b+d)(e+c)=315$
De forma que la suma de los números de las caras es igual a la suma de tres números (distintos de $1$ puesto que son resultado de sumar dos enteros positivos) cuyo producto es $315$. A partir de factorizar en primos a $315$ se determinan las posibilidades:
