22° Cono Sur 2011 - Problema 6

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Matías V5

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22° Cono Sur 2011 - Problema 6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 22 Ago, 2011 8:38 pm

Algunas casillas de un tablero [math] de [math] se colorean de negro, de modo que todo cuadrado de [math] de [math] contiene a lo sumo [math] casillas negras. Hallar el máximo número de casillas negras que puede tener el tablero.
1  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Caro - V3

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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 6

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 23 Ago, 2011 2:44 pm

Spoiler: mostrar
El máximo es [math]. Ejemplo (creo que es el único):
Cono Sur 2011 - P6(2).png
Es fácil ver que en esta coloración todos los cuadrados de [math] de [math] tienen a lo sumo dos casillas negras.
Veamos ahora que [math] es la cantidad máxima.

Dividamos el tablero de la siguiente manera:
Cono Sur 2011 - P6(3)2.png
Si hubiera al menos [math] casillas negras, por Palomar (o por "principio de las casillas ampliado"), habría al menos [math] casillas negras en un rectángulo verde. Agarremos ese rectángulo y dividamos:
Cono Sur 2011 - P6(4)2.png
Como en todo cuadrado de [math] tiene que haber no más de 2 casillas negras, necesariamente tiene que haber 2 casillas negras en el rectángulo rosa (el de [math]). Es decir, nos debería quedar esto:
Cono Sur 2011 - P6(5).png
Ahora dejemos fijo ese rectángulo en algún lado, y dividamos el tablero de la siguiente manera: un rectángulo de [math] pintado de blanco y negro alternadamente (como el anterior), y [math] rectángulos de [math].
Cono Sur 2011 - P6(6).png
Por Palomar, tendríamos al menos uno de esos rectángulos de [math] con al menos [math] casillas negras. Y ahora ya es imposible pintar de modo que no quede un cuadrado con más de 2 casillas negras.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

felipe94in
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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 6

Mensaje sin leer por felipe94in » Mar 23 Ago, 2011 4:09 pm

Comentario: Ver el problema 4 de la Cono 2008.
Saludos

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Caro - V3

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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 6

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 23 Ago, 2011 6:02 pm

Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Martín Vacas Vignolo
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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 6

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Vie 04 May, 2018 6:27 pm

[math]

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