Entrenamiento Cono 2018 P17

[Matías]

A un tablero se lo denomina guayaco si puede ser cubierto totalmente con fichas como se muestra en la figura, sin superposiciones ni fichas que sobresalgan del tablero.
Determinar todos los valores de $n$ para los cuales el tablero de dimensión $n\times (n+1)$ es guayaco.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \times & \times & \times & \times & \times \\ \hline \times & & & & \\ \hline \times & & \times & \times & \\ \hline \times & & & \times & \\ \hline \times & \times & \times & \times & \\ \hline \end{array}

[¿hola?]

Spoiler: mostrar

Primero, con dos de esa cosa fea se puede formar una pieza $5\times 6$, y si una cosa fea esta en el tablero, es formando una pieza $5\times 6$ con otra cosa fea. Por lo anterior, el problema es equivalente a ver que tableros $n\times (n+1)$ se pueden llenar con piezas $5\times 6$. Este nuevo problema se puede resolver mirando esto para obtener que o bien $n≡0$ modulo $5$ o $6$ y $n≡-1$ modulo $6$ o $5$ respectivamente, o bien, $n≡0$ o $n≡-1$ modulo $30$ y $n$ o $n+1$, respectivamente, se pueden escribir de la forma $a5+b6$ con $a$ y $b$ enteros no negativos. De las primeras soluciones obtenemos $n≡5$ o $n≡24$ modulo $30$ y de las segundas obtenemos $n≡0$ o $n≡29$ modulo $30$ exceptuando cuando $n$ o $n+1$, respectivamente, no son de la forma $a5+b6$ con $a$ y $b$ enteros no negativos, y como $5$ y $6$ son coprimos, por el teorema de Chicken McNuggets tenemos que el numero mas grande que cumple esto es $19$ y como $19<29$ jamás ocurrirá que $n$ o $n+1$ no son de la forma $a5+b6$ ya que $n\geq 29$.

Finalmente todos los tableros guayacos de $n\times (n+1)$ son los que $n$ es congruente con $0,5,24,29$ modulo $30$.