Nacional 2018 P2 N2

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tuvie

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Nacional 2018 P2 N2

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 10 Nov, 2018 7:14 am

Se tienen $n^2$ cajas vacías, cada una de ellas tiene base cuadrada. La altura y el ancho de cada caja son números enteros entre $1$ y $n$ inclusive, y no hay dos cajas iguales. Una caja cabe dentro de otra si su altura y su ancho son menores y ademas alguna de sus medidas es menor por al menos $2$ unidades. De este modo, podemos formar sucesiones de cajas (la primera dentro de la segunda, la segunda dentro de la tercera, y así siguiendo). Ponemos cada una de estas sucesiones en un estante distinto. ¿Cuantos estantes se necesitan para guardar, con certeza, todas las cajas?

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BrunoDS

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Re: Nacional 2018 P2 N2

Mensaje sin leer por BrunoDS » Dom 09 Dic, 2018 10:50 am

Spoiler: mostrar
Sea $(a,b)$ una caja de ancho $a$ y altura $b$.

Veamos que con $3n-2$ estantes es posible guardar todas las $n^2$ cajas.
Para eso, a cada caja $(a,b)$, la metemos dentro de la caja $(a+1,b+2)$. De esta manera, es claro que cada caja cabe dentro de la siguiente.
Ahora, contamos cuántos estantes tenemos, contando sólo la primera caja de cada estante (la más chica de cada estante). Tenemos $n$ cajas de la forma $(1,y)$, otras $n-1$ cajas de la forma $(x,1)$ (con $x\geq2$) y otras $n-1$ cajas de la forma $(i,2)$ (con $i\geq2$). Así, al sumarle $(a+1,b+2)$ a cada caja recorremos todas las $n^2$ cajas y en total usamos $n+n-1+n-1=3n-2$ estantes.

Ahora, para demostrar que se necesitan como mínimo $3n-2$ estantes, notemos que si una caja está dentro de otra, entonces la suma del ancho y la altura de la caja grande debe ser al menos $3$ unidades más grande que la suma del ancho y la altura de la caja chica (ya que una de las dos dimensiones debe dismiunuir en al menos $2$ y la otra en al menos $1$).
Luego, si contamos la cantidad de cajas cuya altura y ancho suman $n$, $n+1$ y $n+2$, obtenemos que son $(n-1)+(n)+(n-1)=3n-2$ y además ninguna de estas cajas puede ir dentro de otra, ya que la diferencia es a lo sumo $n+2-n=2$. Luego, necesitamos al menos $3n-2$ estantes.

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NPCPepe

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Re: Nacional 2018 P2 N2

Mensaje sin leer por NPCPepe » Mar 15 Oct, 2019 8:48 pm

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$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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