Nacional 2018 P4 N3

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Monazo

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Nacional 2018 P4 N3

Mensaje sin leer por Monazo » Dom 11 Nov, 2018 4:38 pm

Se tiene un tablero cuadriculado de $50\times 50$. Carlos va a escribir un número en cada casilla con el siguiente procedimiento. Elige primero $100$ números distintos que denotamos $f_1,f_2,f_3,\dots,f_{50},c_1,c_2,c_3,\dots,c_{50}$ entre los cuales hay exactamente $50$ que son racionales. A continuación escriben en cada casilla $(i,j)$ el número $f_i. c_j$ (la multiplicación de $f_i$ por $c_j$). Determinar la máxima cantidad de números racionales que pueden contener las casillas del tablero.
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nachitoracing
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Re: Nacional 2018 P4 N3

Mensaje sin leer por nachitoracing » Vie 27 Sep, 2019 12:03 pm

Me dió 625, lo pensé como un tablero. Igualmente me pareció muy fácil así que seguramente está mal

Agustin Azar
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Re: Nacional 2018 P4 N3

Mensaje sin leer por Agustin Azar » Mar 05 Nov, 2019 11:41 am

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Sabemos que si multiplicamos un número irracional con cualquier numero racional distinto de 0 el resultado sera un número irracional.
sabiendo esto sabemos que cada número de la lista de f se multiplicara una vez con cada número de la lista de c, por lo tanto si f o c tiene todos sus numero irracionales, la cantidad de numeros racionales del producto sería la menor, entonces en base a esto consideramos que debemos repartir los 50 racionales de forma equitativa en la lista, de esta forma tendríamos que 25x25 = 625, esa seria la cantidad de numeros racionales que escribiriamos en el tablero.
Pero no es la mayor cantidad de numeros que podemos conseguir, ya que si consideramos a alguno de los numeros de f o c como 0 entonces todos los resultados de su producto serían 0, por lo tanto racionales, entonces nos queda que la cantidad de numeros racionales sería (24x25) + 50 = 650 y ese seria el resultado

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