Nacional 2018 P5 N3

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Monazo

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Nacional 2018 P5 N3

Mensaje sin leer por Monazo » Dom 11 Nov, 2018 4:42 pm

En el plano se tiene $2018$ puntos entre los que no hay tres en una misma recta. Se colorean estos puntos con $30$ colores de modo que no haya dos colores que tengan la misma cantidad de puntos. Se forman todos los triángulos con sus tres vértices de distinto color. Determinar la cantidad de puntos de cada uno de los $30$ colores para que el número total de triángulos con los tres vértices de distinto color sea lo más grande posible.

Peznerd
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Re: Nacional 2018 P5 N3

Mensaje sin leer por Peznerd » Mié 30 Oct, 2019 6:01 pm

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Me dio $52, 53, ..., 57, 58, 60, 61, ..., 81, 82$
Sin mucha demostración ¡Un quilombo sacar cuántos triángulos hay para tantos colores! Hacés la suma de: el producto del primero con el segundo y la suma de todos los otros; más el producto del primero y el segundo y la suma de todos los otros excepto uno; ...; más el producto del segundo y el tercero y la suma de todos los otros excepto el primero; más el producto del segundo y el tercero y la suma de todos los otros excepto el primero y uno; ...; ...; más el producto de los tres penúltimos más el producto de los tres últimos.

Resulta sencillo (pero no tengo demostración) ver que para toda cantidad $k$ de puntos, el límite de la cantidad de triángulos con tres vértices de distinto color es de

$[(1) + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+...+k)]$ ${(\frac{p}{k})}^3$

Si $p$ es la cantidad de puntos

Hasta acá llegué. Me puse a probar a ver qué pasaba si le saco uno al color de $52$ para darle el punto al color de $82$ y les juro que es un infierno algebraico.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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