Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se tienen $8$ pesas, todas de colores distintos, y una balanza de dos platos.
Ana y Beto saben que las pesas son de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ y $8$ gramos, pero solamente Ana sabe qué color le corresponde a cada peso.
Una operación consiste en colocar pesas en cada plato de manera que la balanza quede equilibrada.
Ana quiere realizar una serie de operaciones que permitan que Beto, viendo lo que ella hace, determine con certeza el color de la pesa de $1$ gramo.
¿Cuál es la mínima cantidad de operaciones que debe hacer Ana para lograr su objetivo?
Decir cuáles son esas operaciones y cómo hace Beto para determinar el color de la pesa de $1$ gramo.
Explicar por qué no puede lograrlo con menos operaciones.

Nota: La balanza de dos platos se equilibra cuando el peso total de los objetos colocados en cada plato es el mismo.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Emerson Soriano

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Re: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
Claramente no se puede con una sola pesada. Probaré que se puede con $2$ pesadas. En efecto, Ana colocará las pesas de $7$ y $8$ gramos en un plato, y las pesas de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ gramos en el otro plato. Note que la balanza está en equilibrio, pues ambas contienen $15$ gramos en total. Además, la suma de los pesos de cualesquiera dos pesas es a lo sumo $8+7=15$ gramos y la suma de los pesos de cualesquiera cinco pesas es al menos $1+2+3+4+5=15$ gramos. Por lo tanto, al ver Beto esa pesada sabrá que en el plato que tiene dos pesas, uno de ellos es de $7$ gramos y el otro es de $8$ gramos. Luego, Ana coloca en un plato las pesas de $1$ y $7$ gramos y en el otro plato la pesa de $8$ gramos. De esa forma, Beto sabrá cuál es la pesa de $1$ gramo, y por ende su color.

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Matías V5

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Re: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Demostración de que no se puede con menos operaciones (no me gustó el "claramente"...)
Spoiler: mostrar
Al hacer una pesada dividimos las pesas en tres grupos: las del plato derecho, las del plato izquierdo y las que quedan afuera de la balanza. Para poder determinar con certeza cuál es la pesa de 1 gramo con una sola pesada vamos a tener que dejarla sola en uno de esos grupos, ya que Beto no tiene manera de distinguir las pesas que estén en un mismo grupo.
Si la pesa de 1 gramo está sola en un plato, es imposible lograr equilibrio.
Si la dejamos sola afuera de la balanza, las otras 7 pesas deben estar en los platos, pero estas 7 pesas pesan $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35$, que es impar, de modo que la balanza no puede estar equilibrada.
Entonces, es imposible para Ana hacer que Beto identifique la pesa de 1 gramo con una sola operación.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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