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Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Publicado: Jue 06 Dic, 2018 7:06 am
por Gianni De Rico
Se tienen $8$ pesas, todas de colores distintos, y una balanza de dos platos.
Ana y Beto saben que las pesas son de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ y $8$ gramos, pero solamente Ana sabe qué color le corresponde a cada peso.
Una operación consiste en colocar pesas en cada plato de manera que la balanza quede equilibrada.
Ana quiere realizar una serie de operaciones que permitan que Beto, viendo lo que ella hace, determine con certeza el color de la pesa de $1$ gramo.
¿Cuál es la mínima cantidad de operaciones que debe hacer Ana para lograr su objetivo?
Decir cuáles son esas operaciones y cómo hace Beto para determinar el color de la pesa de $1$ gramo.
Explicar por qué no puede lograrlo con menos operaciones.

Nota: La balanza de dos platos se equilibra cuando el peso total de los objetos colocados en cada plato es el mismo.

Re: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Publicado: Vie 23 Ago, 2019 1:27 pm
por Emerson Soriano
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Claramente no se puede con una sola pesada. Probaré que se puede con $2$ pesadas. En efecto, Ana colocará las pesas de $7$ y $8$ gramos en un plato, y las pesas de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ gramos en el otro plato. Note que la balanza está en equilibrio, pues ambas contienen $15$ gramos en total. Además, la suma de los pesos de cualesquiera dos pesas es a lo sumo $8+7=15$ gramos y la suma de los pesos de cualesquiera cinco pesas es al menos $1+2+3+4+5=15$ gramos. Por lo tanto, al ver Beto esa pesada sabrá que en el plato que tiene dos pesas, uno de ellos es de $7$ gramos y el otro es de $8$ gramos. Luego, Ana coloca en un plato las pesas de $1$ y $7$ gramos y en el otro plato la pesa de $8$ gramos. De esa forma, Beto sabrá cuál es la pesa de $1$ gramo, y por ende su color.