Rioplatense 2018 - N2 P1

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N2 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:35 am

En cada casilla de un tablero de $4\times 4$ se escribe un número entero positivo, de tal forma que los $16$ números son diferentes. En toda fila y toda columna el número escrito en una de sus casillas es igual a la suma de los otros tres. Sea $M$ el mayor de los $16$ números.
Determinar el menor valor posible de $M$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Fedex

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Re: Rioplatense 2018 - N2 P1

Mensaje sin leer por Fedex » Jue 24 Sep, 2020 5:37 pm

Spoiler: mostrar
Sea $M$ el número más grande en una fila. Ya que $M$ es la suma de los otros $3$ números, la suma de la fila es $2M$.
Sea $S$ la suma de los números en todo el tablero y $M_i$ el máximo en la fila $i$.
Sumando todas las filas:
$2(M_1 + M_2 + M_3 + M_4) = S$
Ahora $S = M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + K$
Siendo $K$ la suma de los otros $12$ números.
Entonces:
$M_1 + M_2 + M_3 + M_4 = K \geq 1+2+3+...+12 = 78$
Supongamos $M_1 > M_2 > M_3 > M_4$
En donde $M_1$ es claramente el número máximo del tablero.
Luego por ser enteros:
$M_1 \geq M_2 + 1$
$M_1 \geq M_3 + 2$
$M_1 \geq M_4 + 3$
Sumadas: $3M_1 - 6 \geq M_2 + M_3 + M_4$
Entonces:
$4M_1 - 6 \geq M_1 + M_2 + M_3 + M_4 \geq 78$
$M_1 \geq 21$
$M_1$ es cómo mínimo $21$.
Y el ejemplo:

$4$ $6$ $11$ $21$
$5$ $3$ $20$ $12$
$9$ $19$ $2$ $8$
$18$ $10$ $7$ $1$

Tamos.
1  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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