Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P2

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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 5:43 pm

En cada casilla de un tablero de $8\times 8$ se escribe un número natural, de forma que sin importar cómo se cubra el tablero con dominós, la suma de los números escritos en las dos casillas que cubre cada dominó es distinta.
Decidir si es posible que todos los números sean menores o iguales que $32$.
Queda Elegantemente Demostrado

NicoRicci
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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P2

Mensaje sin leer por NicoRicci » Mié 18 Dic, 2019 3:54 pm

Solución
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Coloreamos el tablero como un ajedrez: Una casilla negra, sus casillas vecinas blancas, las casillas vecinas a las blancas de color negro, y así sucesivamente. Reemplazamos las casillas negras con 1(s) (unos) y las casillas blancas con números distintos del 1 al 32, a gusto. Como son 32 casillas blancas, quedará cada casilla blanca con un número distinto.

De este modo evitamos que dos dominós que no se superponen sumen lo mismo: Luego, llamemos dₐ y dₓ a cualesquiera dos de los dominós ubicados en el tablero, y como cada dominó ocupa una casilla negra y una blanca, luego estos dominós ocuparán un 1 y un número nₐ y nₓ respectivamente, es decir, si llamamos S(a) y S(x) a la suma de los números de las casillas de dₐ y dₓ respectivamente, luego S(a) = nₐ + 1 S(x) = nₓ + 1. Como nₐ y nₓ son números diferentes ya que son diferentes casillas (los dominós no se superponen) y habíamos dicho que las casillas blancas contienen números diferentes, luego nₐ + 1 es distinto a nₓ + 1, luego S(a) es dintinto a S(x), y luego queda comprobado que cualesquiera dos dominós que no se superpongan en el tablero que armamos tienen suma distinta, y, además, todos los números que escribimos son ≤32.

Nota: Las casillas negras pueden completarse con cualquier número m y se sigue cumpliendo la desigualdad entre S(a) y S(x). Puse el 1 como ejemplo.

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