ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P10

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Nando

OFO - Mención
Mensajes: 59
Registrado: Mar 31 Jul, 2018 7:39 pm
Medallas: 1

ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P10

Mensaje sin leer por Nando » Dom 25 Ago, 2019 3:04 am

Regina tiene $75$ varillas de metal cuyas longitudes son $1$ cm, $2$ cm, $3$ cm, $\ldots$, $74$ cm y $75$ cm. Ella escogió $k$ de esas varillas de tal manera que se puede construir un triángulo con cualesquiera tres varillas escogidas, determine el mayor valor de $k$ para el cual esta situación es posible.

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado FOFO 7 años - Jurado FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 869
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P10

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 25 Ago, 2019 8:56 pm

Spoiler: mostrar
Nombremos las varillas de acuerdo con su longitud.

Es claro que Regina puede elegir las $38$ varillas de longitud $38, 39, 40, \ldots, 75$, donde para cualesquier trio de varillas $a,b,c$ se verifica que $$c \leq 75 < 77 \leq a+b$$ con lo cual siempre se puede construir un triángulo.

Si Regina hubiera elegido $39$ o más varillas de longitudes $a_1< a_2< \ldots < a_{39}$, entonces $a_1 \leq 37$ y $a_i +1 \leq a_{i+1}$ y por lo tanto $$a_{39} \geq a_{2}+37 \geq a_{2}+a_1$$ rompiendo la desigualdad triangular.

Luego el mayor valor de $k$ es $38$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Responder