Cono Sur 2019 - Problema 1

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Sandy

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Cono Sur 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 27 Ago, 2019 3:55 pm

Martín tiene dos cajas $A$ y $B$. En la caja $A$ hay $100$ bolitas rojas numeradas del $1$ al $100$, cada una con uno de esos números. En la caja $B$ hay $100$ bolitas azules numeradas del $101$ al $200$, cada una con uno de estos números. Martín elige dos números enteros $a$ y $b$, ambos menores o iguales a $100$, y luego extrae al azar $a$ bolitas de la caja $A$ y $b$ bolitas de la caja $B$, sin reposición. El objetivo de Martín es que entre todas las bolitas extraídas haya dos rojas y una azul tal que la suma de los números de las dos rojas sea igual al número de la azul.
¿Cuál es el menor valor posible de $a+b$ para que Martín logre con certeza su objetivo? Para el mínimo valor hallado de $a+b$ dar un ejemplo de $a$ y $b$ que siempre cumpla el objetivo y justificar por qué todo $a$ y $b$ con suma menor puede no cumplir el objetivo.

Sandy

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Re: Cono Sur 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 27 Ago, 2019 3:57 pm

Respuesta:
Spoiler: mostrar
$a+b \geq 102$

Solución:
Spoiler: mostrar
Supongamos, en el peor de los casos, que las bolitas rojas que saca son las que tienen los números desde $1$ hasta $a$, y que las bolitas azules que saca son las que tienen los números desde $201-b$ hasta $200$.

Para que pueda cumplir el objetivo, necesitamos obligatoriamente que $201-b$ sea menor o igual que $a+(a-1)$. Digamos que $a+b=k$, queda del siguiente modo:

$201-(k-a) \leq a+(a-1)$

$201+1 \leq k+a$

$202 \leq k+a \leq k+100 \Rightarrow 102 \leq k$

Luego veamos que con $a=100$ y $b=2$ Martín siempre cumple su objetivo.

Es claro que entre las $100$ bolitas rojas consigue todas las sumas entre $101$ y $199$, ya que tiene $100+t$ $ $ $ $ $ $ $\forall t\in \{1, 2, 3, ... , 99\}$.

Luego, de las azules sólo el $200$ no aparece como suma de dos bolitas rojas, por lo tanto para cualesquiera dos azules que saque habrá al menos una igual a la suma de dos bolitas rojas.
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